192 III. Abschnitt. § 7. Kurvenintegrale. Integrale komplexer Funktionen 
Aus (6) und (7), folgt 
/(~f+^)dA=j\pd X + Qdy), (8) 
A - 6’ 
wo nunmehr Kürze halber der ganze Rand mit G bezeichnet ist, aus wie 
viel selbständigen Kurven er sich zusammensetzen möge, nur muß be 
züglich seiner Richtung an den getroffenen Festsetzungen gehalten werden. 
Haben die Funktionen P, Q außer den bereits vorausgesetzten Eigen 
schaften auch noch die, daß überall 
(9) 
oy dx 7 v ' 
so wird das Flächenintegral und mit ihm auch das Kurvenintegral gleich 
Null. Dies führt zu dem fundamentalen Satze: 
Das Kurvenintegral J (Pdx -f Qdy), genommen längs des Bandes 
eines Gebietes, auf welchem die Funktionen P, Q und ihre partiellen Ab 
leitungen erster Ordnung stetig sind und außerdem den' Bedingung ^ = 
genügen, hat den Wert Null. 
Wenn die Bedingung (9) erfüllt ist, bildet der Ausdruck Pdx-+- Qdy 
das exakte Differential einer gewissen Funktion z, so zwar, daß P = ~, 
Ö = f--: denn tatsächlich ist dann = -ß- — -J f • Die Funktion z 
^ dy■ oy dx dxdy 
ist unter den über P, Q gemachten Voraussetzungen ebenfalls stetig im 
Bereiche A. 
299. Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurveninte 
grals f(Pdx + Qdy) von dem Verlauf des Integrationsweges. 
Wenn man in dem Gebiete, auf welchem die Funktionen P, Q eindeutig 
und stetig sind nebst ihren ersten partiellen Ableitungen, zwei Punkte 
A, B durch einen Kurvenbogen verbindet, so wird der Wert des über den 
selben erstreckten Integrals im allgemeinen außer von den Endpunkten 
auch von dem Verlauf des Integrationsweges abhängeu. Es kann nun 
die Frage aufgeworfen werden, ob es möglich ist, daß der genannte 
Wert nur von den Endpunkten und nicht auch von der Gestalt des Weges 
abhängt. 
Diese Frage findet ihre Erledigung in dem vorangehenden Satze. 
Wenn zwei verschiedene Wege wie AG X B und AG^B, Fig. 152, zu dem-