299. Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals 
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selben Integralwert führen sollen, so muß der über den ganzen geschlos 
senen Linienzug in irgend einer Richtung gebildete Integralwert Null 
sein; denn aus 
f (Pdx + Qdy) (Pdx + Qdy) 
( A C L B) ( A 6'j B) 
folgt mit Rücksicht auf (4): 
j (Pdx + Qdy) -\-j (Pdx -f- Qdy) 
(a\b) (IIC„ä) 
(Pdx + Qdy) = 0. 
(AC’tBCzA) 
Das ist aber nur dann der Fall, wenn P, Q nebst ihren partiellen 
Ableitungen erster Ordnung auf dem von den beiden Wegen eingeschlos 
senen Gebiet stetig sind und die Bedingung ~ erfüllen. 
Man kann dieses Ergebnis, um auch Gebiete einzubeziehen, die 
mehrere getrennte Randkurven besitzen, wie folgt aussprechen: 
Zwei in dem Gebiet, auf ivelchem P, Q nebst ihren partiellen Ablei 
tungen erster Ordnung stetig sind und der Bedingung ~~ = genügen, 
zwischen zwei Punkten A, B verlaufende Integrationswege führen dann 
und nur dann zu demselben Wert des Integrals f (Pdx + Qdy), wenn 
sich der eine Weg ohne Überschreitung eines Bandes in den andern über 
führen läßt 1 ). 
Das wird in einem einrandigen Gebiet für alle, zwei Punkte ver 
bindenden Wege der Fall sein; bei einem Gebiet von der Form Fig. 153, 
das drei Ränder C, C', C" hat, gilt dies bei 
spielsweise von den Wegen A1B und A2B, 
nicht aber von diesen und dem Wege A?>B. 
Bezüglich in sich geschlossener Integra 
tionswege ergibt sich daraus folgendes. Läßt 
sich ein solcher Integrationsweg ohne Über 
schreitung eines Randes auf einen Punkt zu 
sammenziehen, so ist das Integral längs des 
selben gleich Null (W 1} Fig. 154). Lassen 
Mg. 153. 
1) Eine andere Begründung dieses fundamentalen Satzes wird in der Yaria 
tionsrechnung gegeben werden. 
Czüber, Vorlesungen. II. i. Aul 
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