194 HI. Abschnitt. § 7. Kurvenintegraie. Integrale komplexer Funktionen 
zwei geschlossene Wege, die dieser Bedingung nicht entsprechen, sich 
ohne Überschreitung des Randes ineinander überführen, so führen sie zu 
gleichen, aber von Null verschiedenen Inte- 
solche Überführung nicht, so ergeben sie un- 
^ / gleiche und von Null verschiedene Integral 
werte ( W 2 oder W 3 und TT 4 ). 
Zur Illustration folgende Beispiele. 
Das Integral 
Fig. 154. 
erfüllt die wiederholt formulierten Bedingungen in der ganzen a^-Ebene, 
sein Integrand ist das exakte Differential von xy\ daher ist sein Wert 
zwischen irgend zwei Punkten auf jedem sie verbindenden Weg derselbe, 
nämlich die Differenz der den Punkten zugeordneten Produkte xy\ und 
auf jedem in sich geschlossenen Wege ist er gleich Null; so hat man 
beispielsweise, wenn man als Integrationsweg den Kreis K 
x 2 + y 2 = 
nimmt, bei Einführung von Polarkoordinaten 
ydx -f xdy = — r sin<p r sin ydrp -f r cos <p r cos cpdy = r 2 cos 2q>d<p 
bei jedem r. 
und 
o 
K 
Anders steht es bei dem Integral 
d 0 
, die Funktion unter dem 
dx ’ 
x dP 
Q- 
#*-}-y t: dy 
Integralzeichen also auch ein vollständiges Differential ist, und zwar von 
arctg -- • Denn hier verlieren P, Q und ihre Ableitungen an der Stelle 
x <= 0, y = 0 jede Bedeutung. Wenn also ein geschlossener Integrations 
weg diesen Punkt umschließt, so hat das längs desselben gebildete Integral 
nicht den Wert Null; längs desselben Kreises wie vorhin ist beispielsweise 
xdy — ydx r cos cpr cos <pdcp -j- r sin <pr sin rpdcp