198 III Abschnitt. § 7. Kurvenintegrale. Integrale komplexer Funktionen 
c 
muß also, als dem Betrage nach beliebig klein, notwendig Null sein, so daß 
f= 2ä #o)> 
V 
woraus ( 12 ) 
c 
Diese Formel drückt die Tatsache aus, daß sich der Wert der Funk 
tion f(z) in einem Innenpunkt z 0 darstellen läßt mit Hilfe derjenigen 
Werte, welche sie längs der Randkurve C annimmt. 
Statt G kann man jede andere den Punkt z 0 umschließende geschlos 
sene Linie benützen, die ganz innerhalb A verläuft; wählt man als solche 
einen um z 0 mit entsprechend eingeschränktem Radius B beschriebenen 
Kreis, so hat man z — z 0 = dz — iBe l<f, dcp und 
2 n in in 
f(*o) = % + iv o “ 2“ f> + w)d<P = htj ud(p + V(l(p ’ 
0 0 0 
2 n in 
woraus u o = 2\tf udc P> v o f vd( P> 
o o 
d. h. die zu dem Punkte z 0 gehörigen Werte u 0 , v 0 sind die Mittelwerte 
aus den u, respektive v längs des Kreises (z 0 , B) [270]. 
302. Pole einer analytischen Funktion. Eine analytische 
Funktion, die in einem Gebiete der Ebene eindeutig und stetig ist, 
heißt in eben diesem Gebiete holomorph (auch synektisch). Die Ein 
deutigkeit ist so zu verstehen, daß man an einer Stelle immer zu dem 
selben Funktionswert kommt, auf welchem Wege man auch zu ihr ge 
langen möge. Das einfachste Beispiel holomorpher Funktionen sind die 
rationalen ganzen Funktionen von z. 
Unter den Punkten, in welchen eine analytische Funktion unend 
lich wird, sind die Pole bezüglich des Verhaltens der Funktion die ein 
fachsten. Man bezeichnet a als einen Pol von f(z), wenn f(z) daselbst 
unendlich wird, jedoch so, daß das Produkt (z — a) n f(z), wo n eine posi 
tive ganze Zahl und die kleinste dieser Eigenschaft bedeutet, einer end-