200 HI. Abschnitt. § 7 Kurvenintegrale. Integrale komplexer Funktionen 
daraus ergibt sich durch Integration längs C unter Benützung der For 
mel (12), 301: 
f(*i) , f(ß 2) 
F’M F\g a j 
weder ein f(z x ) noch ein F'{z i ¡) ist Null, ersteres nach Voraussetzung, 
letzteres, weil die z x ausdrücklich als einfache Pole, also als einfache 
Wurzeln von F(z) angenommen sind. 
Das Integral der vorliegenden meromorphen Funktion längs des 
Randes von A hat also einen bestimmten von Null verschiedenen Wert, 
der gleich ist 2ni multipliziert mit der Summe von n bestimmten den 
einzelnen Polen zugeordneten Werten; diese Werte werden nach einer 
von Cauehy eingeführten Terminologie die den Polen zukommenden Re- 
f(g\ 
sidua der Funktion genannt. 
F(z) 0 
303. Anwendungen. Die vorgeführten Integralsätze bilden ein 
weittragendes Mittel zur Auswertung von Integralen auch im reellen Ge 
biet. Der Grundgedanke, der dabei meistens befolgt wird, besteht darin, 
daß man an der Begrenzung des Gebiets, das man dem Integral der ent 
sprechend gewählten analytischen Funktion zugrunde legt, auch die 
x-Achse als Integrationsweg im reellen Gebiet in geeigneter Weise teil 
nehmen läßt. Zur Begrenzung des Gebiets eignen sich besonders Gerade 
parallel zu den Achsen und Kreise. Denn längs einer solchen Geraden 
ist das eine Element von z = x + iy konstant, daher reduziert sich dz 
auf dx oder idy und die Funktion von z auf eine solche von x oder y 
allein, je nachdem y oder x konstant ist; und längs eines Kreises ist, 
wenn man seinen Mittelpunkt zum Ursprung macht, der Modul von z 
konstant und es bleibt die Amplitude als die alleinige Variable übrig. 
Die Durchführung dieses Gedankenganges kann nur an Beispielen erklärt 
werden; unter diesen ist auch eines aufgenommen, bei dem ein anderer 
Weg eingeschlagen ist. 
00 
1. Das Integral 
— 00 
hat einen bestimmten Wert, weil der Nenner im reellen Gebiet nirgends 
verschwindet und um zwei Grade höher ist als der Zähler (275, 277).