503. Anwendungen 
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Läßt man, was vermöge der Natur der Funktion zulässig ist, a unbe 
schränkt wachsen, so nimmt das erste Integral den Wert Yn an (285, 4.); 
das zweite und vierte konvergiert mit dem Integranden gegen Null; das 
dritte entwickelt sich wie folgt: 
— 30 «0 00 
b ~J e~ x ' l ~* ibx dx = — e 6 ' | / e~ x * cos 2bxdx — if e - * 1 sin 2bxdx^ ; 
von den zwei Integralen in der Klammer ver 
schwindet aber das zweite, weil der Integrand 
eine ungerade Funktion ist (236). Mithin ergibt 
sich (vgl. 285, 4.) 
00 
f e~ x 'coB 21)xdx = 
X 
D 
b C 
A 
1 
B 
-a o 
a 
Fig. 358. 
5. Die Funktion — ist holomorph in jedem Teile der Ebene, der 
z 
den Nullpunkt nicht enthält. Integriert man sie also längs des Umfangs 
des Halbrings, Fig. 159, so ergibt sich der Integral wert Null. Sind R, r 
die Radien der beiden Halbkreise K, k, so hat man folgenden Ansatz: 
— R k r K 
Läßt man R unbegrenzt wachsen und r unbegrenzt abnehmen, so schließen 
sich das erste und dritte Integral zusammen zu 
oo oo oo 
J *i x äx Ccosxdx . . I sinÄdiK 
~-J —-+v ■—> 
— oc — 00 — 00 
wobei noch das erste Teilintegral den Wert Null 
hat, weil es sich auf eine ungerade Funktion be 
zieht. Die Einführung von Polarkoordinaten in den 
beiden Kurvenintegralen führt zu 
o n 
Fig. 159. 
aus dieser Darstellung ist ersichtlich, daß das zweite bei lim R — oo 
wegen des Faktors e~ RBin( f gegen Null konvergiert, während das erste