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andere sich als vorteilhafter erweist, so mögen einige gleich angeführt 
werden. 
Setzt man in (1) x = ^ so wird l—x = und dx = 
also oo 
, v f t e ~ x dt 
(i + ir 
zerlegt man letzteres Integral in zwei mit den Integrationsintervallen 
(0, 1), (1, oo) und führt im zweiten ~ statt t als Variable ein, so er 
gibt sich 
B (p q)=* f tP ■ 1+ ^. 1 dt, 
und diese Form läßt die Symmetrie von B(p, q) in bezug auf die beiden 
Argumente unmittelbar erkennen; es ist also 
B(j>,q) = B(q,p). (5) 
Die Substitution x = sin 2 <p verwandelt (1) in 
B (p, q) = 2 j sin 237 - 1 cp cos 22-1 cpdcp. 
o 
Durch die Substitution e~ x =*= z geht (2) über in 
i 
r{a) = f( ljr) a 1 dz ; 
(6) 
(7> 
dies ist die Form, in der Euler das Integral zuerst aufgestellt hat. 
Von den beiden Integralen (1) und (2) hat indessen nur das zweite 
einen selbständigen Charakter, indem sich das erste durch Integrale 
zweiter Gattung ausdrücken läßt. Um das zu zeigen, werde in (2) x 
durch kx(k> 0) ersetzt; es ergibt sich so die Formel 
und aus dieser 
r(a) = k a I e~ kx x a ~ x dx 
b 
4 = —— C e~ kx x a ~ x dx: 
k a F{a)J 
(8> 
schreibt man hierin 1 + t für k, p -f- q für a, multipliziert beiderseits