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III. Abschnitt. § 8. Analytische Anwendungen 
mit t p ~ l und integriert hierauf von 0 bis oo, so erhält man mit Rück 
sicht auf (3) oo oo 
Mp, q) - , (> /'p-'ätj,'e-v+O’zr+’-'dx, 
0 0 
wofür nach dem Satze von der Umkehrbarkeit der Integrationsfolge ge 
schrieben werden kann: «, «, 
B(p, q) = r( /_j_ ’s _x x v + ' l ~ 1 dxJe~ xt l p ~ l dt‘, 
0 0 
r(p) 
die innere Integration liefert aber wegen (8) das Resultat -, infolge 
dessen wird oo 
B(p, q) => - r r { §^, (9) 
0 
womit die obige Behauptung erwiesen ist. 
Gauß hat für die Gammafunktion eine vom Integralzeichen freie 
Definition verwendet, durch ein unendliches Produkt; sie läßt sich aus 
(2) ableiten, indem man von der Bemerkung ausgeht, daß e~ x der Grenz 
wert von ist für lim m — oo; hiernach kann man schreiben: 
r(a) = lim f( 1——) x a ~ 1 dx. 
m = oOfJ ' 
0 
Nun ergibt partielle Integration nach und nach: 
m m 
f(l- / (l--)”~ X -dx 
J \ m) 1 a \ m) ) o J \ mj a 
m 
ß 
X \ m - 1 X a 
dx, 
ß 
X\m — l x a 
dx 
m 
= f(i- x -) m ~ 2 
J \ mf 
ß +1 
(m — l)x‘ 
ma(a -f- 1) 
dx, 
m 
ß 
m— 2 
(m 
ma(a 
m 
l)x a + i , _ , 
*+l) J\ m) m 2 a(a+!)(« +2) UJ/ ' 
o o 
nimmt man also m als positive ganze Zahl an, was unbeschadet der All-