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III. Abschnitt. § 8. Analytische Anwendungen 
305. Zurückführung der Gammafunktion auf das kleinste 
Argumentintervall. Für die Auswertung der Gammafunktion ist eine 
Formel von großer Bedeutung, die sich ergibt, wenn man auf (2) partielle 
Integration mit der Zerlegung x a ~ i , e~ x dx anwendet; man erhält so: 
oc 
r(a) = {— e~ x x a ~ 1 } ~+ (a — 1) J V X x a ~ 2 äx, 
o 
d. i. F(a) = (a -1) r(a -1) (a> 1). (11) 
Ist nun n die größte in a enthaltene ganze Zahl, so daß a — n ein 
positiver echter Bruch ist, so liefert die w-mal wiederholte Anwendung 
dieser Formel: 
r(a) = (a — 1) (a — — F(a — n), (12) 
und dadurch ist die Berechnung aller Werte von r(a) zurückgeführt auf 
das Intervall (0, 1). Was die Grenzen dieses Intervalls selbst anlangt, so 
folgt aus (2) unmittelbar, daß jT(0) = oo und jT(l) = 1 ist. 
Indessen ist noch eine weitere Einschränkung möglich, nämlich auf 
das Intervall (o, y)? die sich durch Vermittlung eines Integrals ergibt, 
das Euler ebenfalls zum Gegenstand seiner Untersuchungen gemacht hat 
und mit dem wir uns nun beschäftigen wollen. 
Durch Verbindung der Formeln (3) und (9) und wenn gleichzeitig 
P + Q. = 1 genommen wird, erhält man 
r(p)r(l-p)~f (13) 
0 
Dieses Integral ist es, durch dessen Vermittlung sich die letzterwähnte 
Einschränkung erzielen läßt. Sein Wert ist in 303 auf dem Wege über 
Integrale mit einer komplexen Variablen bestimmt worden. Doch soll 
hier, mit Bücksicht auf die Wichtigkeit, auch ein Weg beschritten wer 
den, der im reellen Gebiet verbleibt. 
Bei rationalen p — und auf solche darf man sich, wenn praktische 
Zwecke vorliegen, beschränken — läßt sich das Integral in (13) aus dem 
Euler sehen Integral * 
r x 2m dx 
J l+x 2n 
— OD 
ableiten, in welchem m, n positive ganze Zahlen bedeuten und m < n