305. Zurückfährung der Gammafunktion auf das kleinste Argumentintervall 211 
14 
sein soll. Unter diesen Voraussetzungen besitzt nämlich dieses uneigent 
liche Integral nach 277, 1. einen bestimmten Wert, zu dessen Auffindung 
in ihre Partialbrüche zerlegen und 
„2m 
2 n 
man die gebrochene Funktion 
° 1 +jc 
diese einzeln integrieren wird. 
Der Nenner hat n Paare konjugiert-komplexer Nullstellen und es 
möge zuerst untersucht werden, was die von einem solchen Wurzelpaar 
a -f- ßi, a — ßi stammenden Partialbrüche zum Integral wert liefern. Diese 
Partialbrüche werden 239, (9) die allgemeine Form 
A + Bi 
7 + 
A — Bi 
x — a — ßi x — K ßi 
besitzen und in ihrer Zusammenfassung ergeben: 
2A(x — a) — 2Bß 2A(x—cc) . 2Bß 
(.X—Oi) 2 -j- 2 (x— or) 2 -j~ ß~ (x—a) S -j- ß* 
Ihre unbestimmte Integration gibt weiter: 
Al((x — (x) 2 -f ß' 2 ) — 2B arctg — ~ -• 
bei endlichen Grenzen — a, b (a> 0, 5>0) erhält man als Wert des 
bestimmten Integrals 
b 
(b-ay+ß* 
(« + «) 2 + ß* 
2B (arctg + arctg 
2 Al — + AI 
a 
H 
2B 
(arctg ~j a + arctg “ "t“) ; 
läßt man nun a, b unabhängig voneinander ins Unendliche wachsen, so 
bleibt l — unbestimmt, das zweite Glied konvergiert gegen 0 und das 
dritte gegen — 2 B%. 
Dies vorausgeschickt, kann man nunmehr schreiben: 
oc 
/ 
2 m 
X 
i -f x 
b 
2» dx = 2 lj 'ra l - ^ 
o 
A h — 2n 
B 
k> 
wenn A k , B k (k = 0, 1. 
1) in der oben erwähnten Weise zu den 
n Wurzelpaaren von 1 -j- x 2n gehören, wenn also 
„2 m 
1 -f-2 
n — 1 
'HAJx — aß) 
2j