306. Zurückführung der Gammafunktion auf das kleinste Argumentintervall 213 
Da min die Funktion unter dem Integralzeichen gerade ist, kann 
man sich auf das Intervall (0, oo) beschränken und den entsprechenden 
Integral wert verdoppeln; setzt man ferner 
c 8 ” = t. 
2 m-f-1 
2 n 
■P, 
so er 
00 
■gibt sich aus (14) : J ■ 
(15) 
Mit Benutzung dieses Wertes und mit Rücksicht auf (13) lautet also 
die Relation zwischen Gammafunktionen, deren Argumente sich zu 1 er 
gänzen: 
rc«)rxi-a)-a—-• (16) 
Aus ihr folgt insbesondere 
r‘(i) - *. 
r©= y«. 
(ii) 
Dieses Resultat, eines der ersten, welche Euler auf diesem Gebiete ge 
funden, führt zu einer im Vorangehenden (285, 4.; 286. 4.) auf anderem 
Wege schon abgeleiteten Integralformel; macht man nämlich in 
oo 
J e~ x x~ i dx 
die Substitution x — s*, so entsteht die Formel 
Mittels (12) und (17) kann, man die Gammafunktion für alle ge 
brochenen Argumente mit dem Nenner 2 berechnen, ist demnach bereits 
im Besitze der Werte: 
P(0) = oo, r(l) = 1, r(2) = 1, r(3) — 1 - 2, r(4) === 1 *2 ■ 3, • • • 
m-v«, n§)=i-tv*, m-\-t-iv*,---- 
Zu weitergehenden Ausrechnungen dienen die Reihenentwicklungen 
des nächsten Artikels. Der Verlauf der Gammafunktion im Intervall 
(1, 2) ist aus der folgenden Tabelle zu ersehen.