306. Reihenentwicklung für die Gammafunktion 
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l( m _1) _ l(m - 2) + - 2(M _ 2 jS + 
l(m -2) - l(m- 3) + - 2^3)T + 
__ 1 _ J_ j_ 
v ~ 2 , ^ ® 1 O • 1 J ^ 
die Addition dieser Gleichungen führt zu 
J«. - 1 + i + • ■ • +.¡¿1- Y s s ( ’“ _1) + V-*>- • ■ i 
woraus H — Im = - 1 - -f- 4” S2 (m ~ 1) 4" s 3 (m-1) + • • •; 
m m 2 d 6 ° 
da nun die Grenzwerte s 2 , s 3 , . . . von s 3 ( m ~ 1 \ . . ■ eine fallende 
Folge von Zahlen bilden, so ist 
lim (¿4 - Im) - i - y «3 + T s * “ '' ' ( 20 > 
durch eine konvergente Reihe dargestellt und hat somit tatsächlich einen 
bestimmten Wert y. Diese Zahl y bildet neben e und x eine wichtige 
Konstante der Analysis und heißt die Eulersche oder die Mascheroni- 
sche Konstante; sie ist ebenso wie x Gegenstand vielfacher und weit 
gehender Berechnungen geworden. Anf 10 Dezimalen abgekürzt ist 
y = 0,57721 56649 • • •. (21 > 
Durch den Grenzübergang ergibt also (18): 
ir(a) — — y a — la -j- — s 2 —j- s s + • ■ •. ( 22) 
Die Summen der hyperharmonischen Reihen 
gendre 1 ) für alle p von 2 bis 35 auf 16 Dezimalen berechnet worden: 
auf 10 Dezimalen abgekürzte Werte einiger dieser Summen sind: 
Sn = 1,64493 40668 
s 3 = 1,20205 69032 
s 4 - 1,0823232337 
5 10 = 1,00099 45751 
s n = 1,00049 41886 
s 12 = 1,00024 60866 
s 24 = 1,00000 00596 
s 3C « 1,00000 00009 
s 33 = 1,0000000001 
1) Exercises de calcul intégral, IL Bd. (1814), p. 65.