III. Abschnitt. § 8. Analytische Anwendungen 
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s ß = 1,03692 77551 
5 6 = 1,0173430620 
Sy = 1,00834 92774 % 
s 8 = 1,00407 73562 ’ 
= 1,00200 83928 
s is = 1,00012 27133 
s u = 1,00006 12481 
s 15 = 1,00003 05882 
s 16 = 1,00001 52823 
s 17 = 1,00000 76372. 
Die Entwicklung (22) hat den Nachteil langsamer Konvergenz. Zu 
einer rascher konvergierenden Reihe gelangt man auf folgendem Wege. 
Durch Vereinigung der beiden logarithmischen Glieder ergibt sich mit 
Rücksicht auf (11): 
ir(a -f- 1) = — ya -f~ — s 2 —y S s + • • •; 
addiert man hierzu 
i(a + l)-a-^ + ~ , 
so entsteht weiter 
ir(a + 1) = a( 1 — y) — l(a + 1) +y (s 2 — 1) —(s s — 1) -j- • • •, 
•daraus durch Änderung des Vorzeichens von a 1 ): 
ir(l — a) = — «(1 — y) — Z(1 — a) 4- y (s 2 — 1) -f -y (s s — 1) -f • • •; 
endlich durch Subtraktion der letzten zwei Gleichungen: 
ir(l -f a) - ir(l-o) 
0/1 \ 7 1 4- a 2 a s , i x 2a‘ 
nun ist aber wegen (11) und (16) 
ir(l+a) + ir(l-a) = lar(a) T(1- 
(*5-1) 
x 7 an 
a) = l — 
' sin an 
durch additive Verbindung dieser zwei Ansätze erhält man schließlich 
die sehr rasch konvergierende Reihe Legendres: 
lF(l+a) = ll a7T ~ 
x ' 2 sin an 
1 7 1 + a 
2 1 1 — a 
+ a(l-r)-y(s s -i; 
a a , 
5 ( S5 
1)- 
(23) 
Erteilt man a Werte aus dem Intervall (—4-, 0) oder aus dem Inter 
vall (0, Ä) so ergeben sich Werte von IFaus dem Intervall (§•, 1) bzw. (1, -§•). 
1) Das Argument der linksstehenden Gammafunktion bleibt wegen a < 1 
trotzdem positiv.