307. Fouriersche Reihen 
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307. Fouriersche Reihen. Aus der Funktion sin#, welche die 
Periode 2jt, die Amplitude 2 und den Anfangswert 0 (für £ = 0) besitzt, 
kann man Funktionen erzeugen mit beliebig kleiner Periode, beliebiger 
Amplitude und beliebigem Anfangswert. Denn die Funktion A sin(nx+cc), 
2 % 
in welcher n eine ganze Zahl bedeuten möge, hat die Periode —, die 
Amplitude 2 A und den Anfangswert A sin a, die alle durch entsprechende 
Wahl von n, A und a nach Belieben reguliert werden können. 
Eine ähnliche Betrachtung kann bezüglich der Funktion cos x an 
gestellt werden, die sich von der vorigen nur im Anfangs wert unter 
scheidet. . 
Nun ist aber A sin (nx -f-a) = A cos cc sin nx + A sin a cos nx: es 
läßt sich also die Funktion A sin (n x -f- a) auch durch Summierung der 
beiden Funktionen B sin nx, Gcosnx hersteilen, wenn J5==A cosa, 
C — A sin a genommen wird. 
Aus dem Umstande, daß bei diesen beiden Funktionen durch Wahl 
von n ein beliebig rascher Zeichen Wechsel und durch Wahl der Koeffi 
zienten beliebig große und beliebig kleine Amplituden erzielt werden 
können, erklärt sich die Tatsache, daß durch Addition mehrere Ausdrücke 
dieser Zusammensetzung Funktionen des mannigfachsten Verlaufs erzeugt 
werden können, geometrisch gesprochen: daß man durch Superposition 
von in dem letztgedachten Sinne verallgemeinerten Sinus- und Kosinus 
linien die mannigfachsten Kurven hersteilen kann. 
Ihren höchsten Ausdruck findet diese Tatsache in dem Satze, daß 
es möglich ist, jede eindeutig definierte Funktion fix), sofern sie nur ge 
wissen Bedingungen genügt, die übrigens bei allen in den Anwendungen 
der Analysis auf naturwissenschaftliche und technische Probleme bisher 
gebrauchten Funktionen erfüllt sind, in eine nach den Sinus und Kosinus 
der Vielfachen von x fortschreitende unendliche Beihe zu entwickeln, also 
in der Form 
f(x) = jb 0 + cos x -f b 2 cos 2x -f & a cos ?>x -f- • • • 
-f- a x sin x + a 2 sin 2x -f- a 3 sin 3x -f- • • • ^ 
darzustellen. 
Man nennt eine derartige Reihe eine trigonometrische und in der 
Ausführung, die ihr im Nachfolgenden gegeben werden wird, eine Fou- 
riersehe Beihe. Diese letztere Bezeichnung ist dadurch gerechtfertigt,