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III. Abschnitt. § 8. Analytische Anwendungen 
daß Fourier als erster die Behauptung aufgestellt hat, jede willkürliche 
Funktion lasse eine solche Entwicklung zu 1 ). 
Die Reihe auf der rechten Seite von (1) ist periodisch und hat die 
Periode 2 7t. Danach möchte es scheinen, als ob der Ansatz nur für Funk 
tionen eben dieser Eigenschaft gelte. Indessen liegt das Problem so, daß 
die Funktion f(x), in einem Intervall (0, c) oder (— c, c) eindeutig defi 
niert, in diesem Intervall durch eine Fourier sehe Reihe darzustellen ist. 
Man wird dann den trigonometrischen Funktionen im ersten Falle statt x 
das Argument im zweiten Falle das Argument — geben; denn -~ 
durchläuft das Intervall (0, 2 7t), während x von 0 bis c geht, und ~ das 
Intervall (— 7t, 7t), während x sich von — c bis c ändert. Außerhalb des 
betreffenden Intervalles liefert die Reihe eine periodische Wiederholung 
dessen, was sie in dem Intervall selbst ergab. 
808. Darstellung der Koeffizienten. Bei der Bestimmung der 
Koeffizienten der Fourierschen Reihe kommen einige Integralformeln 
zur Anwendung, die auch sonst von Wichtigkeit sind und daher vor 
allem entwickelt werden sollen. 
Sind p, q ganze Zahlen, so ist 
o 
o 
weil ferner 
2 7t 
J*Bmpxsmqxdx = [cos (p~q)x — cos (jp -f q)x~\dx r 
o 
0 
0 
0 
1) Mém. de l’Acad. de Paris, 1807; weitergebende Betrachtungen über den 
Gegenstand finden sich in seiner Theorie analyt. de la chaleur, 1822. Vor ihm 
war Euler an die Frage herangetreten. Die Feststellung der Bedingungen, unter 
welchen eine Funktion in eine Fouriersche Reihe entwickelbar ist, gab zuerst 
Dirichlet, Journ. von Crelle, Bd. 4 (1829).