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IY. Abschnitt. § 1. Quadratur ebener Kurven 
% 
dann kommt S y(u)x (u) du (5) 
Mo 
an die Stelle von (1); dabei ist vorausgesetzt, daß der Bogen CD, Fig. 166, 
beschrieben wird, während u das Intervall (u 0 , u t ) durchläuft. Durch diese 
Formel werden jedoch mitunter auch zusammengesetztere Aufgaben der 
Quadratur gelöst, als es die Figur 166 anzeigt. 
Ist die Kurve auf ein anderes als ein Parallelkoordmatensystem be 
zogen, dann ändert sich der Sinn des Grrundproblems und die Zerlegung 
in Elemente. In dem wichtigsten Falle, der hier zu erwähnen ist, dem 
des Polarsystems, besteht die Grundaufgabe in der Berechnung eines 
Sektors OAB (Fig. 166a), und das Flächen differential, entsprechend dem 
Kreissektor OMN, ist ausgedrückt durch 
\r 2 dcp, 
mithin die Fläche selbst durch 
S = -\fr*d<p-, (6) 
Mg. 166 a. a 
dabei sind a, ß die zu A, B gehörigen Amplituden. Auch diese Formel 
läßt naheliegende Verallgemeinerungen im Sinne von (3) und (4) zu. 
Bei Anwendung rechtwinkliger Koordinaten drückt sich der infini 
tesimale Sektor OMM', als Dreieck aufgefaßt, wenn x, y die Koordinaten 
von M, x -f- dx, y -F dy die Koordinaten von M' sind, durch 
= (xdy — ydx) 
£ IJ 
x -f dx y -f- dy 
aus, und für die Fläche OAB ergibt sich die Formel: 
S = l{xdy - ydx)-, 
(7) 
die Integrationsgrenzen hängen von der Wahl der Integrationsvariablen ab. 
Bei besonderen Aufgaben der Quadratur kann auch eine andere dem 
Falle angepaßte Zerlegung in Elemente vorteilhaft sein. 
311. Beisp iele. 1. Quadratur der allgemeinen Parabel 
y = ax m (a > 0). 
«) Bei m > 0 geht die Kurve durch den Ursprung und ihre von da 
an bis zu einer beliebigen Ordinate y gezählte Fläche ist