311. Beispiele 
233 
s 
X 
aß 
x m dx 
axß l+ l 
ro-f 1 
xy 
m -f-1 ’ 
o 
steht also zu dem Rechteck xy aus den Endkoordinaten in einem kon 
stanten Verhältnis. So hat man bei der gewöhnlichen Parabel m = 4 
oder m = 2, je nachdem OX oder OY die Achse ist, und dementspre 
chend die Fläche \xy, bzw. %xy. 
ß) Wenn — l<m<0, so ist (274, 2.) die Integration von # = -f-0 
an zulässig und liefert wieder das obige Resultat, so daß auch jetzt zwi 
schen der durch Schraffierung angedeuteten Fläche (Fig. 169) und dem 
Rechteck xy der Endkoordinaten ein konstantes Ver 
hältnis besteht; hingegen ist die rechts von y befind 
liche, unendlich ausgedehnte Fläche unendlichgroß 
(276, 1.). 
Gerade umgekehrt verhält es sich im Falle 
m < — 1; dann ist die links von y liegende, längs der 
Ordinatenachse sich erstreckende Fläche unendlichgroß, die rechts be 
findliche endlich und hat den Wert 
oo 
X 
In dem Grenzfalle m = -f 1 hat man zwischen zwei beliebigen Punkten 
X 
s = a J ir = al (v > °) 
Xq 
und es ist sowohl die über (0, x) als auch die über (x, oo) ruhende Fläche 
unendlich. Bemerkenswert ist die Formel, welche sich für a = 1, x 0 = 1 
ergibt; sie lautet S = lx 
und besagt, daß die zwischen der Scheitelordinate der gleichseitigen 
Hyperbel xy = 1 und einer anderen Ordinate eingeschlossene Fläche 
durch den natürlichen Logarithmus der zur letzteren Ordinate gehörigen 
Abszisse gegeben ist; damit hängt zusammen der Name hyperbolische 
Logarithmen für natürliche Logarithmen. 
Zu den Kurven der eben betrachteten Gleichungsform gehören die 
polytropischen Kurven, das sind jene Linien, welche die Zustandsände 
rungen permanenter Gase zur Darstellung bringen. Für diese Zustands 
änderungen bestehen nämlich die Gleichungen