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IV. Abschnitt. § 1. Quadratur ebener Kurven 
punkt des Grundkreises ist demnach gleich 
2 rtr 
8 
(R+r)(R + 
R 
cos — u 
r 
\ du 
TtriR -f- r) (R -{- 2r) 
_ 
Subtrahiert man hiervon den zugehörigen Sektor des Grundkreises, 
der gleich ist Y-iß 2 ^^ = ^rR, so ergibt sich die zwischen einem Lauf 
der Zykloide und dem Grundkreise eingeschlossene Fläche: 
3R 4- 2r 
St 
R 
nr“. 
Bei R — r geht S in die Fläche der Kardioide über, die demnach 
6jrr 2 ist. 
9. Quadratur der Fußpunktkurven. Das Lot p und sein Neigungs 
winkel u gegen OX bilden die Polarkoordina 
ten des Punktes P der Fußpunktkurve von C 
in bezug auf 0 als Pol (Fig. 174). Demnach 
ist der einem bestimmten Bogen von C ent 
sprechende Sektor der Fußpunktkurve bestimmt 
durch 1 r* 
8 = —Jp^du, 
und der demselben Bogen von G entsprechende 
Sektor der aus einem andern Pol 0' erzeugten Fußpunktkurve durch 
8' ==—-J*p' 2 'du] 
beide Integrale haben dieselben Grenzen. 
Sind nun r/cp die Polar-, x/y die rechtwinkligen Koordinaten des 
neuen Pols 0', so ist p ' = p _ r cos (u — <p) 
=* p — x cos u — y sin u, folglich 
p 2 = p 2 — 2px cos u — 2py sin u -f x 2 cos 3 u -f- 2xy cos u sin u -f y 2 sin 2 u 
und 8' = S — x fp vosudu — yj p sin udu 4- Px 2 Jcos 2 udu 
+ xyjcosm sin udu + $y 2 j sin 2 udu. 
Alle auftretenden Integrale sind von 0' unabhängig und stellen, so 
bald auf C ein Bogen begrenzt ist, bestimmte Zahlen vor; bezeichnet