312. Flächensätze über Fußpunktkurven und Rollkurven 
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2 <P S ~ F = -} y l)-p sin 2ax, 
(6) 
und aus beiden Gleichungen zusammen ergibt sich 
0 p — <P S = s 2 sin 2 a* . 
CO 
Nun denke man sich statt eines Polygons eine geschlossene kon 
vexe Kurve; dann geht das Fußpunktenpolygon in ihre Fußpunktkurve 
bezüglich P, bzw. S über. Den Übergang von dem ersten Falle zum 
zweiten kann man durch eine Grenzbetrachtung hersteilen, indem man 
die gegebene Kurve in sehr kleine gleiche Elemente zerlegt und ihr ein 
Polygon einschreibt, dessen Ecken in die Teilungspunkte fallen. Die 
Winkel ci lf a 2 , . . . werden sehr klein und verwandeln sich in die Kon 
tingenzwinkel r 1; t 2 , ... der aufeinander folgenden Bogenelemente, bei 
der Grenzwertbestimmung der zweiten Summe rechts in (5) dürfen die 
Sinus durch die Bögen ersetzt werden, die Summe der doppelten Kon 
tingenzwinkel, erstreckt über die ganze Kurze, ergibt deren doppelte 
totale Krümmung, d. i. 47t. 
Behält man die Bezeichnung F, & P , <Ps für die Flächen der Kurven 
bei, so kommt man zu den Beziehungen: 
20 r - F-i s + 
2® S -F= iJSVtj 
(5*) 
(6*) 
( 7 *) 
P P — fp s = Y 71 s*. 
Bevor wir die Ergebnisse formulieren, sei über den Punkt S ge 
sprochen; er gehört jetzt nicht zu einem System diskreter Punkte, son 
dern zu der stetigen Gesamtheit der Kurvenpunkte, deren jedem als Zahl 
der doppelte Kontingenzwinkel des anstoßenden Bogenelements zugeord 
net ist; bei gleichen Bogenelementen stehen aber die Kontingenzwinkel 
also auch die doppelten, im Verhältnis der Krümmungen. Der Punkt S 
wird also zum Schwerpunkt der Kurve, wenn ihren Punkten die zuge 
hörigen Krümmungen als Zahlen a zugeordnet werden, und erhielt daher 
den Namen Krümmungsschwerpunkt, nachgebildet dem Worte Massen 
schwerpunkt. 
Man kann nun die letzten Ergebnisse wie folgt aussprechen: 
Unter allen Fußpunktkurven einer geschlossenen konvexen Kurve hat 
diejenige die kleinste Fläche, deren Pol der Krümmungsschwerpunkt dieser 
Kurve ist