312. Flächensätze über Fußpunktkurven und Rollkurven 
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nämlich zu einem Kreise vom Halbmesser a um den Mittelpunkt der 
Ellipse; bezeichnet man also den Brennpunkt mit B, so ist 
= na 2 , 
und damit ist die Handhabe zur Inhaltsbestimmung aller anderen Fuß 
punktkurven gegeben, so zur Bestimmung der flächenkleinsten; denn der 
Abstand zwischen B und dem Krümmungsschwerpunkt 8 ist ]/a 2 — b 2 , 
daher auf Gr rund von (7*) 
® B -® s = -\-n(a 2 -b 2 ) 
und daraus = 4 n(a 2 -j- b 2 ). 
Hat ein beliebiger Pol P die Entfernung s vom Mittelpunkt, so ist 
= {- n(a 2 + b 2 + s 2 ); 
so hat beispielsweise die Fußpunktkurve zu einem Scheitel der großen 
Achse die Fläche (2a 2 + b 2 ), die zu einem Scheitel der kleinen Achse 
die Fläche {-n(a 2 + 2 b 2 ). 
c) Eine geschlossene konvexe Kurve rolle auf einer Geraden ah, und 
ein mit ihr fest verbundener Punkt P beschreibe dabei eine Kurve. Wir 
denken an eine einmalige vollständige Abrollung und fragen nach der 
Fläche, welche von der erzeugten Kurve, den 
Strecken von ihren Endpunkten nach den mo 
mentanen Berührungspunkten (Polen) der rollen 
den Kurve und von der Geraden begrenzt wird, 
auf der das Abrollen vor sich geht. 
In Fig. 177 ist die Anfangslage der Kurve 
gezeichnet. Man denke sie sich wieder in sehr “ 
kleine gleiche Bogenelemente zerlegt und halte 
sich zunächst an das Polygon, das durch die Sehnen dieser Bogenelemente 
gebildet wird. 
Die Sehnen der Elemente M 1 M 2 , M 2 M & , . . . kommen nach 
einer gewissen Abrollung in die Lagen M t 'M 2 , M 2 'M 3 , M s 'Jf/, . . 
und die Dreiecke, die sie mitP bilden, in die Lagen M ± 'M 2 P t , M 2 M S 'P 2) 
M 3 'M i 'P 3 , . . .; der Punkt P beschreibt bei dem Vorgang der Reihe 
nach die Kreisbögen Pj P 2 , P 2 P 3 ,... aus den Mittelpunkten M 2 , M 3 ,..., 
und die Zentriwinkel dieser Bögen sind die Nebenwinkel a 2 , « 3 , . .. der 
Polygonwinkel bei M 2 , M 3 , .... Beim Grenzübergang wird aus dem 
Kreisbogenzug P 1 P 2 P 3 , ... die von P beschriebene Rollkurve, die Win