312. Flächeusätze über Fußpunktkurven und Rollkurven 
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Beispiele. 1. Ist die rollende Linie ein Kreis vom Radius a, so Lat 
die von seinem Krümmungsschwerpunkt (Mittelpunkt) beschriebene Linie 
die Fläche Ws = 2jra2 
Daraus folgt die Fläche der von einem beliebigen Punkt P im Ab 
stand s von S beschriebenen Rollkurve (Zykloide) 
W P = jr(2a 2 + s 2 ). 
Bei der gemeinen Zykloide ist s = a, daher 
= 3 7ta\ 
2. Die rollende Linie sei eine Ellipse mit den Halbachsen a, h. 
Wiewohl sich die Fläche der vom Krümmungsschwerpunkt (Mittelpunkt) 
erzeugten Rollkurve nicht unmittelbarangeben läßt, kann man sie mit Hilfe 
des Zusammenhangs mit der Fußpunktkurve doch finden; diese war 
&s — 1 ft(ß 2 + & 2 ); mithin ist 
Ws = x(a 2 + V), 
also gleich dem Kreise um das Achsenrechteck, und 
W P = 7c(a 2 -f- № -f- s 2 ) 
gleich der Summe dreier Kreise mit den Radien a, b, s. 
d) Es ist nur eine andere Anordnung der in Fig. 177 angedeuteten 
Flächenelemente von Wp, wenn man aus der gegebenen, wieder als ge 
schlossen und konvex vorausgesetzten Kurve eine neue auf folgende 
Weise konstruiert: Man zieht zu ihr in den Punkten M x , M 2 , M B , iif 4 , .... 
die Tangenten und trägt darauf die Strecken PM 1} PM B , PM B , PM±,... 
ab; dies kann, vom Inneren der Kurve aus betrachtet, 
nach links oder rechts geschehen; die so erhaltenen 
Punkte Q 1} Q 2 , Q b , Q±, . . . liegen jedesmal wieder auf 
einer geschlossenen Kurve (Fig. 178). Von dieser 
Kurve gelten also bezüglich des Flächeninhaltes alle 
Aussagen, die unter c) betreffend die Rollkurven ge 
macht worden sind, und es gelten auch die Formeln 
(9) bis (11). Insbesondere also hat die Kurve den 
kleinsten Inhalt, wenn zum Ausgangspunkt der Konstruktion der Krüm 
mungsschwerpunkt genommen wird. 
Die Erzeugungsweise dieser Kurve kann unter Zuhilfenahme der 
Bewegungsvorstellung auch so beschrieben werden: Ein veränderliches