313. Mechanische Quadratur 
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Angenommen, die Kurve wäre im ganzen Verlaufe nach oben kon 
vex; dann liefert Formel (5) einen zu großen, (6) einen zu kleinen Wert 
und der Unterschied beider, d. i. 
2/^ p-ZJh. _j_ y i n n—i~\ j, r^o “k 2/2n Di ~V y% n—1 
Vj _ ^ p/o + Vl i 
T 
m 
ist größer als die Abweichung jedes der beiden Näherungsbeträge von 
dem strengen Werte. Dieser Unterschied läßt sich geometrisch leicht 
konstruieren; die Sehne M 0 M 2n (Fig. 182) schneidet nämlich auf der 
mittleren Ordinate y n die Strecke die Sehne M 1 M 2n _ 1 die 
Strecke yi .^ r ^ n - 
ab, und die Differenz beider Strecken bestimmt mit Ji 
Y 
0 
K. 
ein Rechteck, das durch (7) ausgedrückt ist; 
dieses Rechteck gestattet dann sowohl den Feh 
ler der Formel (5) wie jenen von (6) zu schätzen. 
Das war der Grund, weshalb Parmentier den 
etwas gekünstelten Weg ein geschlagen hat. 
Die Formel (6) verlangt außer der Messung 
der Ordinalen mit ungeradem Zeiger auch die ^ 
Kenntnis der beiden Endordinaten. 
Beispiel. Mit n = 8 liefert die Formel (7) das folgende Resultat: 
*4. 
I 
dx 
1 -f- x 
[5,54128441 + 0,010673 62] = 0,69899475; 
-x 
dasselbe ist dem strengen Werte gegenüber um 0,00074757 zu groß, 
etwas genauer, als es bei fast gleichem Arbeitsaufwand die Trapezformel 
geliefert hat. 
IV. Eine allgemeine Methode der mechanischen Quadratur besteht 
darin, daß man die Funktion fix) im ganzen Intervalle (a, b) oder strecken 
weise durch andere Funktionen ersetzt, welche sich ihr in entsprechen 
dem Maße anschließen und unmittelbare Integration zulassen; der An 
schluß wird dadurch erzielt, daß man die Forderung stellt, es möge das 
gewählte cp (x) an bestimmten, genügend nahe aneinander liegenden Stellen 
mit f{x) übereinstimmen. Der Wert von Jcp(x)dx ist dann ein Näherungs 
wert für Jf(x)dx. 
Geometrisch bedeutet dies, daß man die gezeichnete oder analytisch 
bestimmte Kurve durch eine gesetzmäßig gestaltete quadrierbare Kurve 
Czüber, Vorlesungen. II. 4. Aufl. 
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