313. Mechanische Quadratur 
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Y. Um von diesem Satze bei dem Integral Jf(x)dx praktischen 
a 
Gebrauch zu machen, teile man zunächst (a, b) in 2n gleiche Teile 
j—in dem Doppelintervalle (a, a + 2h) ersetze man f(x) durch 
h = 
jene ganze Funktion a -f ßx -f- yx 2 
so, daß sie mit f(x) an den Stellen a, a + h } a -f- übereinstimmt, dort- 
selbst also die vorgezeichneten Werte y 0 , y 1} t/ 2 hat — die Funktion ist 
a + ik 
durch diese Forderung vollständig bestimmt, und nun ersetze man jfix) dx 
a 
näherungsweise durch das Integral dieser Funktion; d. i. laut (8) durch 
Y + tyi + Vi ]• 
cl 4th 
Auf Grund analoger Erwägungen tritt an die Stelle von Jf(x)dx 
der Ausdruck h 
Y Üh + 4 ^s + y*\, 
b 
usw.; schließlich an die Stelle von Jf(x)dx 
b-2h 
a + 2 h 
Y [y-2n-2 + tyin-1 + &*]• 
Durch Zusammenfassung erhält man schließlich die Näherungsformel 
0 
f fi*) 
(9) 
dx ~ 3- [y 0 + y in + % 2 + &+ • • • + y 2n _,) 
+ 4(2/1 + y& H + yin-i)]?J 
welche unter dem Namen der Simpsonschen Regel 1 ) bekannt sind. 
Die geometrische Bedeutung des ganzen Vorganges liegt in folgen 
dem. Nachdem man die zu quadrierende Fläche durch die äquidistanten 
Ordinaten y 0 , y x , . . ., y in in Streifen zerlegt hat, denke man sich die 
Bogenstücke M 2n _ 2 M 2n _ 1 M 2n 
durch Parabelbögen von der Gleichungsform 
y = a + ßx -f- yx 2 , 
1) Veröffentlicht in den Mathematical Dissertations, 1743, S. 109. Indessen 
war die Formel für einen Doppelstreifen, die doch die Grundlage bildet, schon 
von R. Cotes, De Methodo Differentiali, 1722, S. 82, gegeben worden. 
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