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IY. Abschnitt. § 2. Rektifikation von Kurven 
s — gjj- \Xx j/1 -j- X^x^ -f- 1 (Xx -(- 
s = 1 [/t^yi + 2 + z + ]/i + a 2 # 1 )] 
oder, wenn man für X wieder seinen Wert setzt, 
2. Rektifikation der gemeinen Zykloide. Unter den Zykloiden läßt nur 
die gemeine Zykloide elementare Rektifikation zu (bezüglich der andern 
siehe Beispiel 5.). Aus ihren Gleichungen 
x — a(u — sinw), y = a(l — costi) 
x'(u) — a (1 — cos u), y(u) — a sin u, 
folgt 
und daraus nach der Formel (2) für die Länge eines im Ursprünge be 
ginnenden Bogens der Ausdruck: 
U 
0 
j erkennt man, daß die Länge des be- 
An der Form s 
trachteten Bogens gleich ist dem Doppelten der Strecke, die auf der 
Tangente seines Endpunktes durch die Scheiteltangente begrenzt wird. 
Hiernach gehört die gemeine Zykloide zu den rektifikabeln Kurven im 
engeren Sinne, indem sich zu jedem Bogen eine ihm gleiche Strecke 
konstruieren läßt. 
Setzt man insbesondere u — 2it, so erhält man die Länge eines 
ganzen Astes der Zykloide: s 0 — 8a, 
die demnach gleichkommt dem vierfachen Durchmesser des erzeugenden 
Kreises. 
Zur Vierteilung der Zykloide führt hiernach der Ansatz 
8a sin 2 -^- = 2a. 
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aus dem sich sin™ = — t somit u = yjt ergibt. Das erste Viertel ent 
steht also durch Abrollung um 120°, das zweite durch weiteres Rollen 
um 60°. , 
Im Anschlüße an das vorliegende Beispiel wollen wir die Aufgabe 
behandeln, die Einhüllende der Scheiteltangente einer gemeinen Zykloide m 
bestimmen, wenn die Kurve auf einer Geraden abrolli.