315. Beispiele 
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woraus sich 
k s sin qp cos qp 
A cp 
f 
(cp) — (1 — k~) 
A°(cp) 
ergibt, mithin ist 
d (p 
% % 
dcp =J J(cp)dtp - (1 - Jc*)j 
k\J 
0 
r 
f Z(cp)dcp 
k 2 sin cp cos qp 
(1 — k 2 )A(cp) 
(<=) 
Indem man dies in (b) und weiter aus dieser Gleichung in (a) ein 
setzt, erhält man für den gedachten Hyperbelbogen 
% % 
8 =( 1 - k2 )j 4§) d ( ( p) dc p + ^ (?) % ? • c d ) 
0 " 0 
In den beiden Integralen erkennt man das elliptische Normalinte 
gral erster Gattung F(Jk,cp) und das der zweiten Gattung E(Jc,cp) (281, 
6., 7.), so daß sich mit dieser Abkürzung schreibt 
s = (1 _ ¿ 2 ) F(k, cp) — E (k, cp) -f Ai (cp) tg cp. (d*) 
Der integralfreie Teil der rechten Seite hat eine einfache geometrische 
Bedeutung. Das Lot aus 0 auf die Tangente in M hat die Gleichung 
Al (cp) £ + kg sin cp = 0, 
sein Abstand vom Punkte M ist also 
A(qp)X -j- ky sin qp 
Al (cp) tgqo; 
YA 2 (cp) -j- k 2 sin 2 qp 
mithin stellt der erwähnte Teil den Abschnitt MP der Tangente vor, 
der vom Berührungspunkt und dem Lot aus 0 begrenzt wird. 
Bei k — — z. B. läßt sich also ein Hyperbelbogen durch einen Bo 
gen einer gewissen Leinniskate ^Parameter einen Bogen einer be 
stimmten Ellipse (mit den Halbachsen 1, und die zuletzt genannte 
gerade Strecke ausdrücken (314, 3., 4.). 
6. Rektifikation der verlängerten und verkürzten Zykloide. Bei diesen 
Linien, dargestellt durch die Gleichungen 
x = au — b sinw 
y = a — b cos u, 
a 4= h