315. Beispiele 277 
8. Rektifikation der sphärischen Kurve 
x % + y 2 + z* = a 2 , x * + y 2 = ax - 
In räumlichen Polarkoordinaten hat die Kurve, von welcher Fig. 186 
einen Quadranten zur Anschauung bringt, die Gleichungen: 
Vergleicht man dies mit den Resultaten in Beispiel 4., so ergibt 
sich, daß der genannte sphärische Bogen gleichkommt dem Bogen einer 
Ellipse mit der großen Halbachse a]/2, der relativen Exzentrizität 
also der kleinen Halbachse a, gezählt vom Scheitel der Nebenachse bis 
zu dem Punkte mit der exzentrischen Anomalie cp • insbesondere ist der 
Quadrant AG der räumlichen Kurve ebensolang wie der Quadrant dieser 
Ellipse. 
9. Zu rektifizieren: 
a) Ein beliebiger Bogen und der ganze Umfang der Astroide. 
4 2 
b) Die ganze Länge der Kurve 4(z 2 -f- y 2 ) — « 2 = 3 a? (man wähle y 
als Integrationsvariable). 
c) Festzustellen, unter welchen Bedingungen sich Kurven der Glei 
chungsform a m y n = x m+n elementar rektifizieren lassen. 
d) Zu zeigen, daß bei der Kurve y 
Relation stattfindet: y‘ 
-» +1 
+ 
die 
-.2 
2 (n -f- 1) a u ' 2(w — l)x 
- • ^Als Anfangspunkt für die Zäh 
lung des Bogens nehme man x — a~j/* 
e) Zu rektifizieren die Archimedische und die logarithmische Spirale.