318. Kubaturen mittels eines Doppelintegrals 
289 
ausgedrückt; dabei ist für Arctg -- der der Vorzeichenkombination von 
x, y entsprechende Bogen aus dem Intervall (0, 2jt) zu nehmen. Die In 
tegration ist in dieser Form unbequem; wendet man hingegen Zylinder 
koordinaten an (294, 2.), so drückt sich v wie folgt aus: 
2n R 
v — b fj Arctg (tg cp)rdrdcp = b j cp dtp jrdr = x 2 bR 2 . 
*0 0 
Die Wendelfläche halbiert also den Zylinder von gleicher Höhe 
{xR 2 - 2xb) (vgl. 316, 6). 
4. Der Körper, welcher aus der Kugel 
x 2 + V* d - £ 2 — a 2 durch den Zylinder x 2 -f- y 2 = ax 
ausgeschnitten wird, zerfällt durch die ax- und xy-Ebene in vier gleiche 
Teile; sein Volumen, in rechtwinkligen Koor 
dinaten dargestellt, hat (Fig. 194) den Ausdruck 
a Yax-x- 
v = 4 ) dx f ]/a 2 — x 2 — y 2 dy. 
o o 
Bequemer als in dieser Form wird die Ausrech 
nung in semipolaren Koordinaten, indem dann 
v = 4 J* j ]/a 2 — r 2 rdrdcp, 
ausgedehnt über den Halbkreis OANO. Integriert man bei festem cp zu 
erst nach r, so sind 0 und ON = a cos cp die Grenzen; danach ist in be 
zug auf cp von 0 bis — zu integrieren. Man hat daher 
71 
2 aoosip 
v = 4 l'dcp I ]/a 2 — r 2 • rdr 
0 0 
7t Jt 
= 3;/ - ri yYacontp d( P = J (1 — sin\)dcp 
0 0 
_ 4a s /« 2 \ 
~ ~T V2 F/‘ 
Von der Halbkugel, welcher der Körper entnommen ist, verbleibt 
also als Rest ein Körper von dem rationalen Volumen fa 3 . 
C zuber, Vorlesungen. II. 4. Äufl. 19 
X