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IV. Abschnitt. § 3. Kubatur krummflächig begrenzter Körper 
319. Beispiel einer Kubatur durch ein dreifaches Integral. 
Es ist das Volumen des von den vier Ebenen 
E t = a x x + \y + c x e -f d x = 0 
E 2 == a 2 x + \y + c 2 z + d 2 = 0 
E 3 = a z x + & 3 y + c s s + d 3 = 0 
E± = a 4 o;'+ & 4 i/ -1- c 4 2 -f d 4 = 0 
(A) 
begrenzten Tetraeders zu berechnen. 
Wollte man die Rechnung in rechtwinkligen Koordinaten durch 
führen, so müßte das Integrationsgebiet, durch den Umriß des Tetraeders 
auf der xy-Ebene begrenzt, in mehrere Teile zerlegt werden und die 
Grenzen von y, x wären für jeden besonders zu bestimmen. 
Der Grund der Komplikation liegt darin, daß die Zerlegung des 
Körpers durch Ebenen senkrecht zu den Achsen nicht naturgemäß ist. 
Seiner Form entspricht eine Zerlegung durch drei Systeme von Ebenen, 
welche dreien von den Ebenen (A), z. B. E t , E 2 , E 3 , parallel sind. Das 
ist aber gleichbedeutend mit der Einführung von drei neuen Variablen 
u, v, w mittels der Gleichungen 
a x x -f- \y + c x z = u 
ei»x -f- \y c 2 # = v 
a z x + h y + W = w - 
(B) 
Um die nötigen Rechnungen übersichtlich 
den Elementen yon ^ ^ ^ ^ 
durchzuführen, seien die 
B = 
a 2 & 2 c 2 d 2 
a 3 \ c 3 d 3 
« 4 & 4 c 4 d x 
adjungierten Unterdeterminanten mit den entsprechenden großen Buch 
staben und die Unterdeterminanten von 
a x b 1 c x 
^2 ^2 ^2 
<X 3 1)g Cg 
mit den griechischen Buchstaben bezeichnet. Dann folgt aus (B):