14 
1. Abschnitt. § 1. Das bestimmte und das unbestimmte Integral 
Ist a <b <c, so zerfällt (a, c) durch den Zwischenwert b in zwei 
Teile, und die auf diese Teile (a, b), (b, c) bezüglichen Summen 8 er 
gehen zusammen die für das ganze Intervall (a, c) geltende Summe: durch 
Übergang zur Grenze erhält man die Formel (24). 
Wenn hingegen a <c <b, so sind (a, c), (c, b) die Teilintervalle 
aus welchen das ganze Intervall (a, b) sich zusammen setzt, und es ist 
daher zunächst « ’> \ 
j f(x) dx -\-J f(x) dx = f f(x') dx] 
a c a 
überträgt man das zweite Integral nach rechts unter Anwendung der 
Formel (23), so ergibt sich wieder die Formel (24). 
Man kann dieser Formel durch Transposition der linksstehenden 
Integrale und durch Vertauschung der Grenzen die Gestalt 
I f(x) dx + J ffx) dx -f f f\x) dx = 0 (25) 
a b c 
geben, wnlche an die Rechnung mit gerichteten Strecken in einer Ge 
raden erinnert: AB -f BC -f GA — 0. 
Die Formeln (24) und (25) können auf beliebig viele im Integrabili- 
tätsbereiche liegende Zahlen ausgedehnt werden nach dem Schema: 
0; c l) + (c,, c,) + • • • + (c p , a) = 0. 
4. Ein konstanter Faktor der m integrierenden Funktion kann vor 
das Integralzeichen genommen werden und umgekehrt. 
Aus der für die endliche Summe S geltenden Gleichung 
2d,cfilf) = cix/ry 
1 1 
folgt nämlich durch Übergang zur Grenze: 
b b | 
f cf ix) dx = c j f\x) dx. (26) 
a a 
5. Bas über (a, b) erstreckte Integral einer Summe von Funktionen 
kommt der analog gebildeten Summe der über (a, b) erstreckten Integrale 
der einzelnen Summanden gleich. 
Es seien nämlich cp{x), ipix) zwei auf dem Gebiete (a, b) integrable 
Funktionen: die auf ihre Summe (p(x) + (x) bezügliche Summe S läßt 
sich wie folgt umformen: