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IY. Abschnitt. § 4. Komplanation krummer Flächen 
da nunmehr das übrige Integral von 90 nicht abhängt, so kann man darin 
(p = 0 setzen, wodurch r = x wird, und findet so als endgültige Formel 
für die von dem Bogen M 0 M 1 des Meridians (Fig. 197) beschriebene Zone 
X 1 
8 = 2 7t j'yi -f f' (ccfxdx, 
x 0 
oder, weil]/l f' (x) 2 dx das Bogendifferential ds des 
Meridians ist, 
8 = 2itJ*xds. (13) 
Dementsprechend beschreibt der Bogen M 0 M l der um die x -Achse 
rotierenden Kurve y — f(x) (Fig. 198) eine Zone von der Größe 
S = 2nJ\ids. 
(14) 
Fig. 198. 
Die Ausdrücke 2itxds y 2ityds bedeuten bis auf Größen höherer als 
der ersten Ordnung die von dem Bogenelemente 
MM' im ersten und zweiten Falle beschriebenen 
Elementarzonen. 
Die beiden behandelten Fälle sind nicht die ein- 
zigen, wo zur Quadrierung einer krummen Fläche 
eine Integration ausreicht’, dies tritt immer ein, wenn 
die Fläche eine Zerlegung in Elemente zuläßt, die 
sich durch einen Differentialausdruck erster Ordnung darstellen lassen. 
*1 
Anmerkung. Das Integral J*yds in (14) hat die Bedeutung des 
statischen Momentes des Bogens M 0 M 1 bezüglich der ¿c-Achse, kommt 
also auch gleich dem Produkte Ys aus der Ordinate Y des Schwerpunktes £ 
dieses Bogens und seiner Länge s. Man hat demnach auch 
S = Ys. (15) 
Darin spricht sich ein Analogon der Gu 1 dinsehen Regel (316, 4.) aus, 
wonach die von dem Bogen s beschriebene Zone gleich ist dem Mantel eines 
geraden Zylinders, dessen Basisumfang s ist und dessen Höhe gleichkommt 
dem Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt des Bogens bei der Rotation 
beschreibt.