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IV. Abschnitt. § 6. Die Sätze von Green 
Zielit man in den Punkten M x , M 2 , . . . die innere Normale zur 
Oberfläche von R, so ist ihr Winkel mit der positiven x- Richtung in 
den Eintrittspunkten M x , ... spitz, in den Austrittspunkten üf 2 , ... 
stumpf, folglich hat man 
dydz = dS x cos (xn x ) = — dS 2 cos (xn 2 ) = • • •, 
wenn die Oberflächendifferentiale, die sich in das Rechteck dydz proji 
zieren, absolut genommen werden. Daher kann für jenen Integranden 
— (X t cos (xn i )dS 1 -f- X 2 cos (xn. 2 )dS 2 -f • • •) 
und für das Integral — f X cos (xn)dS 
's 
geschrieben werden, wobei zu beachten ist, daß sich nun die Integration 
über alle Oberflächenelemente, also über die ganze Oberfläche S von R 
zu erstrecken hat. Hierdurch ist das vorgelegte Raumintegral in ein 
Oberflächenintegral umgewandelt, was in der Formel 
JwkdR- -fx cos (xn)dS 
(3) 
seinen kurzen Ausdruck findet. In gleicher Weise findet man 
J ^ dR — —J Y cos (yn)dS 
R 
J dR = — j*Z cos (zn)dS. 
*R 
Durch Summierung dieser Formeln ergibt sich die weitere: 
dR = —j\Xcos(xn) J r Ycos (y n)-\-Z cos (znJjdS, (II) 
R . S 
eine Fortbildung von (I) für den Raum. 
Zur Illustration der Formeln (I), (II) diene folgendes Beispiel: Setzt 
man X — x, Y=y und bei (II) auch noch Z — z, so ergibt sich zunächst 
2 fcIP = -fx cos (xn) H- y cos (yn)] ds 
P s 
sfdR - - f\[ x cos (xn) + y cos (yn) + z cos (zn))dS; 
R 's 
die linksstehenden Integrale bedeuten P, bzw. 7?; — \x cos (xn) -f- y cos(y w)]