337. Dae Potential und seine Ableitungen im Innenraum 341 
V wird also mit nnendlicli wachsendem L unendlich klein von der Ord- 
nung • Ferner folgt aus 
da mit wachsendem L alle Verhältnisse — der Grenze 1 und alle Ver- 
r 
# Qfi £ 
hältnisse ——- dem cos« sich nähern, wenn a/ß/y die Richtungswinkel 
von L sind, daß 
lim jL 2 X — m cos «; 
L — oo 
X, ebenso Y und Z, werden also mit unbeschränkt wachsendem L un- 
endlich klein von der Ordnung — 
Ö jT,* 
Man kann diesen Ergebnissen mit Rücksicht darauf, daß L cos «, 
L cos ß, L cos y die Koordinaten des Aufpunktes sind, auch den Aus 
druck geben, daß „2F ,0F 
xr, y r,>r-,x^, y*-^, 
bei beständigem Hinausrücken des Aufpunktes gegen endliche Grenzen 
konvergieren. 
337. Das Potential und seine Ableitungen im Innenraum. 
Gelangt der Aufpunkt P in das Innere des Körpers oder an seine Ober 
fläche, so werden die Integrale, welche V und seine Ableitungen defi 
nieren, uneigentliche Integrale, weil nun die Integration sich auch auf 
die nächste Umgebung des Aufpunktes bezieht, hier aber die zu inte 
grierenden Funktionen, d. i. 
1 , 3(ar-D 
t’ 3 1 .. 5 
1 
usw. 
usw. 
r 
unendlich groß werden. 
Es handelt sich da zunächst um die Frage, ob die Integrale trotz 
dem einen Sinn bewahren. Dies ist tatsächlich der Fall bei den Integralen, 
dV dV dV 
welche V. -tt— , -3—-, -5— definieren, weil sie sich durch eine Koordinaten- 
’ OX cy GS ’ 
transformation in eigentliche Integrale umwandeln lassen. Wählt man 
nämlich den Aufpunkt selbst als Mittelpunkt von Polarkoordinaten in 
einem zum ursprünglichen parallelen Koordinatensystem, so wird: 
x — | = r sin 0 cos cp 
y — r\ = r sin 6 sin <jP 
2 — £ = r cos 0 
dv =* r 2 sin 6 drdddcp; 
(?)