231. Das unbestimmte Integral 19 
ln % der 
(34) j 
«möglich. : 
¿em Diffe- 
(3ó)l 
id J, wenn 
igenschaft 
jt, welche 
— Fnnk- 
Intervalla 
iktion f(t) 
) stetig ist, 
(36) 
(31) 
d auch jede 
(38) 
wo C eine willkürliche Konstante bedeutet, teilt mit (36) die in (37) 
ausgesprochene Eigenschaft. 
Außerdem aber gibt es keine anderen Funktionen dieser Art mehr. 
Denn bezeichnet man die Funktion (38) mit cp(x) und nimmt man an, es 
existiere außer ihr noch eine Funktion <D(x) dieser Eigenschaft, so folgte 
aus dem gleichzeitigen Bestände der Gleichungen 
-air-m 
für alle Werte von x aus (a, /3), daß für alle diese Werte 
d[$(x) — tp{x)] _ 0 
dx v 
sei; das führte weiter (39) zu 
®(x) - cp(x) = C 
oder zu <D(x) = C' -f cp (x). Das aber ist in (38) selbst enthalten. 
Die Aufgabe, eine Funktion zu finden, deren Differentialquotient durch 
eine gegebene stetige Funktion dargestellt ist, hat hiernach unendlich viele 
Lösungen; mit einer von ihnen sind aber alle anderen bekannt, weil sie sich 
von ihr nur um eine additive willkürliche Konstante — die Integrations 
konstante genannt — unterscheiden. 
Unter den unendlich vielen Funktionen, welche die Lösung der Auf 
gabe bilden, ist die spezielle (36) dadurch gekennzeichnet, daß sie für 
x — a den Wert Null hat (230, 1.). Aus der Gesamtheit aller Lösungen, 
die durch (38) dargestellt ist, hebt sich eine einzelne hervor, sobald man 
festsetzt, daß sie an der Stelle x = a einen bestimmten Wert A haben 
soll; denn aus r * \ 
\C+Jf(t)dt\ =A folgt 
^ « ’x = a 
C — A —J f(t)dt = A; 
a 
X 
somit ist A + J fit) dt 
, CL 
die herausgehobene Funktion. 
Den Ausdruck (38) oder die Gesamtheit aller Funktionen, welche 
die gegebene Funktion f(x) zum Differentialquotienten haben, nennt man 
das unbestimmte Integral der Funktion f{x) oder auch ihre Stammfunktion, 
primitive Funktion (nach Lagrange) und bedient sich dafür des Zeichens