364 V. Abschnitt. § 1. Differentialgleichungen erster Ordnung. Allgemeines 
Die verlangten geometrischen Orte 1 ) sind also Kurven dritter Ord 
nung, welche wegen des gleichartigen Baues ihrer Gleichungen ähnliche 
Eigenschaften besitzen. 
348. Form des allgemeinen Integrals bei verschiedenen 
Formen der Differentialgleichung. Es ist im voraus einleuchtend, 
daß zwischen der Struktur einer Differentialgleichung und derjenigen ihres 
allgemeinen Integrals ein Zusammenhang bestehen wird. Bevor wir diesen 
Zusammenhang in einer Anzahl wichtiger Fälle feststellen, wollen wir 
einen hiermit zusammenhängenden Begriff entwickeln. 
Es sei F{x, y, G) = 0 (14) 
ein einfach unendliches Kurvensystem; auf dasselbe werde die Trans 
formation (64, II) x (p{x v y v a), y = f(x x , y v a) (15) 
mit dem veränderlichen Parameter a angewendet. Verwandelt sich dabei 
die Gleichung (14) in eine gleichartig gebaute mit den Variablen x x , y x , 
nämlich in ^ Q x ) = 0, (16) 
so bedeutet dies, daß durch die Transformation (15) jede Kurve von (14) 
in eine bestimmte andere desselben Systems verwandelt worden ist; es 
wird im allgemeinen G x eine Funktion von C und a sein. Wir wollen 
dann sagen, das Kurvensystem (14) gehe bei der Transformation (15) in 
sich selbst über oder bleibe invariant. 
Ist f{cc, y, y) = ° (17) 
die zu (14) gehörige Differentialgleichung, so kann die zu (16) gehörige 
auf zweifache Weise gewonnen werden; einmal durch Anwendung der 
Transformation (15) auf (17), oder aber durch Differentiation von (16) 
nach x x und Elimination von C x ] da aber (16) mit (14) bis auf die Be 
zeichnungen völlig übereinstimmt, so wird auch die neue Differential 
gleichung mit jener (17) übereinstimmen, also lauten müssen 
* f(%v Vi, Vx) = °- (18) 
Es ändert hiernach eine Transformation, ivelche ein Kurvensystem in 
variant läßt, auch die Form seiner Differentialgleichung nicht, anders ge 
sagt, sie läßt auch diese invariant. 
1) Die Ortskurven können auch als Erzeugnisse des vor gelegten Kreisbüschels 
mit zwei projektiven Strahlenbüscheln dargestellt werden, die erste mit dem Dureh- 
inesserbüschel aus dem Punkte bjc, die zweite mit dem Polarenbüschel, welches 
dem genannten Punkte in bezug auf das Kreisbüsehel entspricht.