348. Form des allgemeinen Integrals bei Differentialgleichungen 365 
Gelingt es also, zu einer gegebenen Differentialgleichung eine Trans 
formation zu finden, bei welcher sie invariant bleibt, so führt diese selbe 
Transformation auch das System der Integralkurven in sich selbst über. 
Wie daraus auf die Form dieses Integrals geschlossen werden kann, werden 
die folgenden Beispiele zeigen. Y , !y . y 
Beispiel 1. Die Differentialgleichung 
f{x, y) - 0, (19) 
die das Besondere aufweist, daß y als solches nicht vor 
kommt, definiert ein System von Linienelementen von sol- q 
eher Beschaffenheit, daß die Träger gleichgerichteter Ele 
mente auf Geraden parallel der y- Achse liegen (Fig. 220). 
Daraus ist der Schluß zu ziehen, daß ihr allgemeines Integral bei 
allen Translationen parallel zur ^-Achse invariant bleibt und daher auf 
die Form zu bringen ist: F(x,y + C) = 0. (20) 
In der Tat, die genannten Translationen sind durch 
% = x x , y = y x -f- a (21) 
bestimmt; durch sie verwandelt sich (20) in 
F(x v y x + G x ) = 0, wobei C x = C -f a 
und (19), weil dx — dx x , dy = dy v also = y — 
dx 
0. 
dx t 
y x ist, in 
fei y{) 
Beispiel 2. Gleiche Überlegungen führen dazu, daß eine Differential- 
(22) 
gleichung f(y } y ') = o, 
in welcher x nicht erscheint, ein Integral von der Form 
F(cc -j- C, y) — 0 
hat, welches bei allen Translationen parallel zur x-Achse: 
x = x x -i- a, y = y, 
(23) 
(24) 
unverändert bleibt. 
Beispiel 3. Die Differentialgleichung 
f(y - fe y') = 0, (25) 
in welcher Je eine Konstante bedeutet, definiert ein System von Linien 
elementen, in welchem die Träger paralleler Elemente auf Geraden vom 
Richtungskoefizienten h liegen (Fig. 221). Ihr Integral bleibt daher bei