349. Trennung der Variablen 
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wird eine homogene Differentialgleichung genannt. Sie definiert ein System 
yon Linienelementen solcher Art, daß die Träger paralleler Elemente auf 
Geraden durch den Ursprung liegen (Fig. 223). 
Daraus schließt man, daß das System der Integralkuryen hei per 
spektivischer Transformation aus dem Ursprünge, d. h. bei proportionalen 
Veränderungen aller Strahlen aus dem Ursprünge unverändert bleibt, 
daß mithin das allgemeine Integral den Bau 
F(x, y) + C&(x, y) = 0 
(35) 
haben müsse, worin F\ homogene Funktionen bedeuten. 
Tatsächlich verwandeln die perspektivischen Transformationen 
(36) 
x — ax lt y — a y t 
die Gleichung (34) in y x '= f(~-J ; 
und auf (35) angewendet, geben sie, wenn F vom Homogenitätsgrade r, 
vom Grade s ist, nach 56 
F{x x , y x ) + C x ®(x x , y x ) = 0 mit G x = a'~ r C. 
§ 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen erster 
Ordnung. 
349. Trennung der Variablen. Einen Ausdruck Xdx, wo X 
Funktion von x allein ist, nennt man ein exaktes Differential in x. 
Wenn die Glieder einer Differentialgleichung exakte Differentiale sind, 
so sagt man, die Variablen seien getrennt; die Integration der Gleichung 
kann dann unmittelbar vollzogen werden. 
Kat nämlich eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten 
Grades (in bezug auf y'), nachdem man sie auf eine totale Differential 
gleichung zurückgeführt, die Form 
Xdx + Ydy = 0, 
(1) 
so folgt aus ihr unmittelbar 
(2) 
diese endliche Gleichung bildet das allgemeine Integral der vorausgehenden. 
Dabei wird die Lösung als vollzogen betrachtet, gleichgültig, ob es mög-