390 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
Eine solche Gleichung definiert ein System топ Linienelementen топ 
solcher Zusammensetzung, daß durch jeden Punkt der Ebene im allge- 
gemeinen — soweit sich nämlich reelle Werte für у ergehen — zwei Ele 
mente hindurch gehen, deren Richtungskoeffizienten sich nach Einsetzung 
der Koordinaten des gemeinsamen Trägers in (1) und Auflösung nach у 
ergeben. 
Dies hat zur Folge, daß durch jeden Punkt der Ebene innerhalb des 
Reellitätsbereichs топ у zwei Integralkurven hindurchgehen, mit andern 
Worten, daß das System der Integralkurven die Ebene zweifach bedeckt. 
Dabei sind aber zwei verschiedene Fälle denkbar. Entweder sind es zwei 
Kurven eines einheitlichen Systems, die sich in dem Punkte schneiden, 
oder es schneidet sich eine Kurve eines Systems mit einer Kurve eines 
andern Systems, indem das Integralsystem aus zwei einfach unendlichen 
Scharen besteht. 
Wir besprechen zuerst den zweiten Fall, der die Ausnahme bildet. 
Er stellt sich ein, wenn das Gleichungstrinoni Ly 2 -f- 2My N rational 
zerlegbar, mit andern Worten, wenn Ж 2 — LN ein vollständiges Quadrat 
ist-, dann zerfällt nämlich die Gleichung (1) in zwei rationale Gleichungen 
erster Ordnung ersten Grades; jeder derselben entspricht ein die Ebene 
einfach bedeckendes einfach unendliches Kurvensystem und die Vereinig 
ung beider Systeme ist das Integral der Gleichung (1). 
So gibt beispielsweise die Gleichung 
xyy' 2 + (ж 2 - г/) у' — x у = 0 
die allgemeine Auflösung nach у: 
/ = __ x- — y s -ji 
2xy V 4afy 2 ~’ = 2xy — 2xy 1 
zerfällt also in die beiden Gleichungen 
г у , x 
y = -J’ 
welche nach Trennung der Variablen und Integration ergeben: 
x = Cx, # 2 + y 2 = C; 
das erste dieser Resultate bestimmt ein Strahlenbüschel aus dem Ur 
sprünge, das zweite eine Schar konzentrischer Kreise um denselben. Beide 
können in der einen Gleichung (y — Cx)(x*-\- y 2 —0) = 0 zusammen 
gefaßt werden In jedem Punkte der Ebene schneidet sich eine Linie des