359. Differentialgleichungen erster Ordnung zweiten und höheren Grades 391 
ersten Systems mit einer des zweiten unter rechtem K inkel; letzteres 
war auch schon aus der Differentialgleichung zu erschließen, die in der Form 
zeigt, daß in jedem Punkte y\ • y\ — — 1 ist. Eine Ausnahmerolle spielt 
nur der Punkt 0/0, durch welchen alle Geraden des Büschels gehen. 
In dem andern Falle, wo WP— LN kein vollständiges Quadrat ist, 
heißen die Lösungen von (1): 
jede davon kann beide vertreten, wenn man die Quadratwurzel als zwei 
deutiges Symbol auffaßt, und nur, wenn man über das Vorzeichen der 
Quadratwurzel eine bestimmte Festsetzung macht, bildet jede Lösung für 
sich eine Differentialgleichung ersten Grades. Daraus folgt, daß auch das 
Integral einer der Gleichungen das vollständige Integral bildet, wenn man 
den darin vorkommenden Symbolen die volle Allgemeinheit beilegt. In 
dem einen wie in dem andern Falle läßt sich die Totalität der Lösungen 
in bezug auf die Integrationskonstante so ordnen, daß sich eine Gleichung 
von der Form Pd 2 + 2QC + R = 0 (2) 
ergibt, deren Koeffizienten eindeutige Funktionen von x, y sind. Im ersten 
Falle ist auch das Gleichungstrinom von (2) rational zerlegbar, im andern 
Falle ist eine solche Zerlegung nicht möglich. 
Da in jedem Punkt, für den durch (1) zwei reelle Richtungen be 
stimmt sind, auch zwei reelle Kurven von (2) sich schneiden, mit anderen 
Worten, da (1) und (2) gleichzeitig reelle, bzw. komplexe Lösungen er 
geben müssen, so sind die Diskriminanten JHP—LN, Q 2 —PB stets 
gleich bezeichnet und verschwinden auch gleichzeitig, falls sie überhaupt 
Null werden können. 
Als ein einfaches erläuterndes Beispiel diene die Gleichung 
x y' 2 — V i 
sie gibt 
nach Trennung der Variablen 
Êl + œ o • 
y y —yx