863. Die in £c, y linearen Differentialgleichungen 
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Gerade dar vom Richtungskoeffizienten cp(p) und vom Achsenab schnitte f(p). 
Im allgemeinen ist die Richtung der Linienelemente von der Richtung 
der Geraden verschieden, auf welcher die Träger liegen; fallen aber beide 
Richtungen zusammen, ist also 
<p(p)=P, ( 2 ) 
so ist die betreffende Gerade auch eine Integral 
kurve der Gleichung (1). Es hat also die Glei 
chung (1) unter ihren Integrallinien so viele Ge 
rade, als die Gleichung (2) reelle Wurzeln besitzt* 
ist c eine solche, so ist y = xcp(c) f(c) eine 
Integrallinie. 
Zum Zwecke der Gewinnung des allgemeinen Integrals differentiiere 
man die Gleichung (1) und ersetze dy durch pdx\ dadurch entsteht 
Fig. 225. 
pdx = <p{p)dx + [x<p'(p) + f'(p)]dp. 
Dies, auf die Form 
d# _ y (p) x _ r(i>) 
dp p—<f{p) P — <P(P) 
(3) 
gebracht, bildet aber eine lineare Differentialgleichung mit der unab 
hängigen Variablen p und der abhängigen ist diese gelöst und 
F(x, p, q - 0 (4) 
ihr allgemeines Integral, so bleibt noch die Elimination von p zwischen 
(4) und (1) übrig. 
Bemerkenswert ist, daß die Form (3) selbst auf die aus (2) etwa 
hervorgehende Lösung als etwas Besonderes hinweist. 
Beispiele. 1. Aus der Gleichung 
V = (1 —p)x+pa 
erhält man auf dem bezeichneten Wege die neue Gleichung 
(2p — 1) dx -f- (x — a) dp ==> 0, 
in der sich die Variablen ohne weiteres trennen lassen, worauf sich durch 
Integration - u) 2 (2p — 1) = C 
und hierauf durch Elimination von p die vollständige Lösung 
(x — a) [(# — a) (2y — x — d) — C] = 0 ergibt. 
Sie zerfällt in die Gerade x — a, die der Differentialgleichung ge 
nügt, weil sich diese für ^=ooinO = — x (i verwandelt, und in die 
Hyperbelschar («. _ a ) (2y - x ~ d) = G,