B64. Die Clairautsehe Differentialgleichung 
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Da p = 0 die einzige reelle Wurzel der Gleichung 
2p 
,—-”1 = P 
1 —p a 1 
ist, befindet sich unter den Integrallinien eine und nur eine Gerade: y = 0. 
Mit p = + 1 führt die yorgelegte Differentialgleichung auch zu einer 
Geraden, nämlich x = 0; das ist aber keine Lösung, weil x — 0 und jp = + 1 
einander widersprechen. 
364. Die Clairautsehe Differentialgleichung. Ein besonderer 
Pall der in x, y linearen Differentialgleichung ist die Clairautsehe Gleichung 1 ) 
y = xp + f(p), (5) 
wie man aus der Vergleichung mit der allgemeinen Form (1) erkennt, 
ist hier die Bedingung (2) identisch erfüllt; es sind also auch alle durch 
(5) für verschiedene Werte von p bestimmten 
Geraden Integralkurven von (5), folglich das Ge 
radensystem y = Cx + f{G) (6) 
zugleich das allgemeine Integral (Fig. 226). 
Hat das Geradensystem eine Einhüllende, so 
ist diese gleichfalls Integralkurve; denn ihre Tan 
genten mit den Berührungspunkten bilden Linien 
elemente, die zu den durch (5) definierten Ele 
menten gehören. Man erhält die Einhüllende, in 
dem man (6) in bezug auf G differentiiert und zwischen der so entstan 
denen Gleichung 0 = x + f\C) (7) 
und der Gleichung (6) C eliminiert. 
Zu diesen Resultaten gelangt man auf analytischem Wege in folgender 
Weise. Wird (5) nach dem auf die allgemeinere Gleichung des vorigen 
Artikels angewendeten Vorgänge behandelt, somit differentiiert und dy 
durch pdx ersetzt, so ergibt sich 
pdx = pdx -f- [x + f'(p)\dp, 
also \x -f- f'(p)]dp = 0. 
Dies zerfällt aber in die beiden Gleichungen: 
dp ” 0, x + f\p) = 0; 
die erste hat p — G zur Folge und führt auf das allgemeine Integral (6); 
1) Eine Gleichung dieser Form hat A. Clairaut zum erstenmal gelöst in 
einer Abhandlung aus dem Jahre 1734 (Histoire de l’Acad. de Sc. de Paris). 
Cz ub e r, Vorlesungen. II. i. Äufl. 26 
Fig. 226.