402 V. Abschnitt. § 2. Integrationsmethoden für Differentialgleichungen 
aber auch durch Elimination von p zwischen der zweiten dieser Gleich 
ungen und (5) ergibt sich eine Lösung; diese fällt jedoch zusammen mit 
jener Gleichung, welche aus (6) und (7) durch Elimination von C resul 
tiert und die Einhüllende des durch die allgemeine Lösung vorgestellten 
Geradensystems bestimmt. 
‘Die Clairautsche Gleichung bildet den analytischen Ausdruck für 
eine Tangenteneigenschaft einer ebenen Kurve, welche sich nur auf die 
Richtung der Tangente und nicht auch auf die Lage des Berührungspunktes 
in ihr bezieht. Ist nämlich den Tangenten einer Kurve eine Bedingung 
auferlegt, so wird sich diese im allgemeinen analytisch in der Weise dar 
stellen lassen, daß der Abschnitt der Tangente auf der Ordinatenachse 
einer Funktion der Koordinaten ihres Berührungspunktes und ihres Rich 
tungskoeffizienten gleichzukommen hat. Dieser Abschnitt hat aber ver 
möge der Gleichung ^ _ y = p (g x) 
der Tangente den Ausdruck y —px\ folglich kann 
V ~ = fix, V, P) 
als der allgemeine Ausdruck einer Tangenteneigenschaft angesehen werden. 
Hängt nun die Tangenteneigenschaft nur von der Richtung der Tangente 
ab, so nimmt die Gleichung die einfachere Form 
y — px = f(p) 
an, d. h. sie wird eine Clairautsche Gleichung (5). 
Wird z. B. nach der Kurve gefragt, bei welcher die Tangente mit 
dem aus dem Ursprünge nach dem Berührungspunkte gezogenen Strahl 
einen konstanten Winkel 6 einschließt, so handelt es 3ich um eine Tan 
genteneigenschaft, bei welcher die Lage des Berührungspunktes in der 
Tangente von Einfluß ist; die Bedingung der Aufgabe liefert den Ansatz 
and daraus folgt y — px — k(x -i- yp), 
d. h. der Abschnitt der Tangente auf der Ordinatenachse ist von x f y 
und p abhängig. 
Stellt man hingegen die Frage nach einer Kurve, deren Tangenten 
vom Ursprünge einen gegebenen Abstand o haben, so ist dies eine Tau-