408 V. Abschnitt. § 3. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
bezug auf die durch sie gehenden Linienelemente verschieden verhalten; 
die Grenzen der Regionen bieten alsdann besonderes Interesse dar. 
Fassen wir zunächst eine algebraische Gleichung zweiten Grades 
in y ins Auge Ä0 , t + Ai y , + Äi _ o (1 **) 
so wird es im allgemeinen Gebiete geben, deren Punkte Träger von zwei 
verschiedenen reellen Linienelementen sind, und solche, durch deren Punkte 
keine reellen Linienelemente hindurchgehen; Gebiete der ersten Art sind 
durch die Integralkurven zweifach, Gebiete der zweiten Art gar nicht be 
deckt. Die Grenzen zwischen beiderlei Gebieten werden sich dadurch 
auszeichnen, daß durch ihre Punkte zwei vereinigt liegende Linienelemente 
hindurchgehen, entsprechend dem stetigen Übergang von reellen zu kom 
plexen Wurzeln. 
Bei einer Differentialgleichung höheren als des zweiten Grades ist 
die Mannigfaltigkeit der möglichen Fälle entsprechend größer. 
Unser Interesse richtet sich also auf solche Punkte der Ebene, welche 
Träger reeller Linienelemente sind, von denen zwei oder mehrere vereinigt 
liegen. Solche mehrfach zählende Linienelemente sollen als singuläre 
Linienelemente der betreffenden Differentialgleichung bezeichnet werden. 
Sie sind dadurch gekennzeichnet, daß ihre Koordinaten x/y/y den beiden 
Gleichungen ,, „) _ 0 , = 0 ' (2) 
zugleich genügen, die ja die Bedingung ausdrücken, daß die erste Gleichung 
für ein Wertepaar xjy nach y aufgelöst mehrfache Wurzeln ergibt. Durch 
Elimination von y ergibt sich daraus die Gleichung, der die Träger der 
singulären Elemente zu genügen haben; wir schreiben sie in der Form 
DO, ¡0 = 0 (3) 
und geben ihr im Anschluß an die Ausdrucksweise der Algebra den Kamen 
Diskriminantengleichung der Differentialgleichung; das durch sie darge 
stellte Gebilde heiße der Diskriminantenort von (1). 
Um über die Stellung dieses Ortes zu den singulären Linienelementen 
und zu den Integralkurven eine Vorstellung zu gewinnen, haben wir uns 
die Frage vorzulegen, wie denn das Zusammenfallen zweier (oder mehrerer) 
Linien elemente in einem Träger geschehen kann. Indem wir uns auf zwei 
vereint liegende Elemente beschränken, kann die Erscheinung folgende 
Entstehungsgründe haben: