369. Heranziehung räumlicher Betrachtungen 
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Trägerorte der zwei erstbesprochenen Arten stehen mit den singu 
lären Linienelementen im allgemeinen nicht in der Beziehung einer Kurve 
zu ihren Tangenten, genügen also in der Regel der Differentialgleichung 
nicht und sind somit keine Integralkurven. 
Der durch die Gleichung A(oc, y) = 0 dargestellte Diskriminanten 
ort kann also eine singuläre Lösung, einen Ort von Knotenpunkten oder 
einen Ort von Spitzen umfassen. Er wird im allgemeinen mit dem Dis 
kriminantenort D(x, y) = 0 nicht übereinstimmen. Das aber kann ausge 
sagt werden, daß eine vorhandene singuläre Lösung beiden Orten ange 
hören muß; nicht aber braucht ein gemeinsamer Faktor von A und D 
zu einer singulären Lösung zu führen, er kann auch einen Spitzenort er 
geben. Einen Ort von Kontakten getrennter Integralkurven kann nur Z), 
einen Ort von Knotenpunkten nur A enthalten. 
Das Verfahren der Bestimmung einer singulären Lösung aus dem 
allgemeinen Integral F(x, y, G) = 0 besteht also darin, daß man durch 
Elimination von C aus zv 
0, 
de 
0 
die Diskriminantengleichung A — 0 
bildet, A in seine einfachsten Faktoren zerlegt und jede dadurch bedingte 
Teilgleichung weiter prüft, entweder durch Zurückgreifen auf die Diffe 
rentialgleichung oder dadurch, daß man die partikulären Lösungen auf 
das Vorhandensein singulärer Punkte prüft und, falls solche vorhanden, 
deren Orte aus A = 0 ausscheidet. 
369. Heranziehung räumlicher Betrachtungen zur Erklä 
rung der verschiedenen Erscheinungen. Wenn man in dem all 
gemeinen Integral F{x, y, C) — 0 die willkürliche Konstante durch & er- 
F(x,v,*)-0 (1) 
setzt und die Gleichung 
sodann in einem räumlichen Koordinatensystem deutet, dem die frühere 
(horizontal gedachte) xy-Ebene angehört, so stellt sie eine Fläche vor, 
die mit dem System der Integralkurven in einem bemerkenswerten Zu 
sammenhänge steht: diese sind die Projektionen der Schichtenlinien der 
Fläche (217) auf der xy-Ebene. 
Zunächst sei eine singularitätenfreie Fläche vorausgesetzt und zur 
Erleichterung der ersten Vorstellung angenommen, daß sie nach außen 
durchweg konvex sei. Dann bestimmen die Gleichungen