416 V. Abschnitt. § 3. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
ausgeht, das eine Mal y', das andere Mal G eliminiert. Es ist also D = A, 
und da bei den partikulären Integralkuryen, die gerade Linien sind, we 
der Knotenpunkte noch Spitzen Vorkommen, so ist notwendig der ganze 
Diskriminantenort aus singulären Lösungen zusammengesetzt. Nun be 
steht die Einhüllende einer einfach unendlichen Geradenschar im allge 
meinen aus einer Kurve und deren Wendetangenten, mit anderen Worten, 
zur Einhüllenden der Tangentenschar einer ebenen Kurve gehören auch 
deren Wendetangenten. 1 ) Dies ist so einzusehen. 
Die Gerade — x) -f- B(rj — y) = 0 (3) 
ist Tangente an die Kurve q>(x, y) = 0 im Punkte xfy, wenn 
Adx -f Bdy = 0 (4) 
ist. Um die Einhüllende des Tangentensystems zu finden, hat man (3) 
und die Bedingungsgleichung (4) nach den durch die Kurvengleichung 
miteinander verbundenen Parametern x, y zu differentiieren; dies gibt: 
(5) (| — x)dA -f- (?/ — y)dB = 0, dxdA -j- dydB = 0, (6) 
wobei schon die Vereinfachung vollzogen ist, die sich bei der ersten Glei 
chung wegen (4) ergibt. 
Ist nun beständig 
+ 0 ? 
A B 
dA dB 
so folgt aus (3) und (5) | = x, rj = y, d. h. in diesem Falle besteht die 
Einhüllende der Tangenten nur aus deren Berührungspunkten, also aus 
der Kurve cp(x 7 y) = 0 allein. Wenn jedoch an einer Stelle der Kurve 
| A B | 
! dA dB \ 
(?) 
so wird die Gleichung (5) durch alle Werte von rj befriedigt, die der 
Gleichung (3) genügen, mit anderen Worten, die Tangente in einem sol 
chen Punkte gehört mit zur Einhüllenden. Nun läßt sich aus (7) ableiten 
Adx -f- Bdy B | 
dAdx -f- dBdx dB j 
woraus weiter, wenn man (4) nochmals differentiiert und dabei auf (6) 
Rücksicht nimmt, 
1) Man sehe des Yerf. Abhandlung: Über die Einhüllende der Tangenten 
einer Plankurve, der Schmiegungsebenen einer Raumkurve und der Tangential 
ebenen einer krummen Fläche. Monatsh. f. Math. u. Phvs., Bd. 3 (1892).