420 V. Abschnitt. § 3. Singuläre Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen 
der y-Achse parallel sind; sie berühren die «-Achse und die kubische Pa 
rabel y = ~ « 3 in je einem Punkte, die beiden genannten Linien sind also 
ihre Einhüllenden. Aber die «-Achse tritt auch als partikuläre Lösung 
entsprechend c =» 0 auf, als jene unter den Parabeln, deren Brennpunkt 
im unendlich fernen Punkt der y Achse liegt, und bildet den Übergang 
von den nach aufwärts zu den nach abwärts gewendeten Parabeln. Dieser 
Fall bietet ein Beispiel dafür, daß eine Gleichung zugleich singuläre und 
partikuläre Lösung sein kann. 
Zu beachten ist die verschiedenartige Bedeckung der Ebene durch 
die Integralkurven: zwischen 
der kubischen Parabel und 
der «-Achse ist die Bedeckung 
dreifach, im übrigen Teil der 
Ebene einfach^ längs der ku 
bischen Parabel fallen jedes 
mal zwei Linienelemente zu 
sammen, längs der «-Achse 
alle drei (Fig. 232). 
5. Geht man von der end 
lichen Gleichung 
0 (m > 0) 
'27 
/ 
'Ck 
\ 
y-o 
y{my 4- ncx) -f- c % 
aus, so führt die Elimination von c zu der Diffe 
rentialgleichung 
(m 2 « 2 — 4 — rd-if = 0; 
aus beiden ergibt sich ein und dieselbe Diskrimi 
nantengleichung 
?/ 2 (w 2 « 2 — 4 m) = 0. 
Der ihr entsprechende Ort zerfällt in die doppelt zählende Gerade y = 0 
und in das Geradenpaar w 2 « 2 — 4m = 0, und beide genügen der Differen 
tialgleichung, weil zu y = 0 auch y = 0 und zu ?r« 2 — 4 m = 0 y = oo 
gehört. Man hat es also mit zwei singulären Lösungen zu tun, die aber 
im System der Integralkurven verschiedene Rollen spielen. 
Dieses System besteht nämlich aus Hyperbeln mit den Asymptoten 
V 
0. 
y 
cn 
«;