235. Partielle Integration 
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woraus 
$*dx = J y 1 — £ 2 + " arcsin a? -f 6 r . 
zwischen diesen vier Flächen besteht aber die Beziehung 
CBBA + EFBA = OB BF - 00 AE, 
b b b 
welche sich umsetzt in / udv -j- / vdu = {uv) d. i. io die Formel (13). 
a a a 
Beispiele. 1. Weun n + — 1, so läßt sich das Integral 
fxHxdx 
dadurch lösen, daß man u = Ix und dv = x n dx setzt; es wird so 
j‘x n 
Ix 
Ixdx = — . 
fl -f- 1 
Aiß n 
dx ■■ 
n + 1 
Ix 
n +1 
{n + iy 
+ o. 
In dem Falle n 
1 handelt es sich um das Integral 
Pi 
dx 
dx 
und die Zerlegung u — Ix, dv = — führt wieder auf das nämliche In 
tegral zurück, indem 
/ 
-J 5 dx = (Ix) 2 
fix 
J x 
dx 
wird; nichtsdestoweniger ist die Aufgabe gelöst, da hieraus 
' l ^dx = P{lxp + C 
P 
~ folgt. 
Wenn überhaupt bei Anwendung der partiellen Integration das vor 
gelegte Integral auf der rechten Seite wieder erscheint mit einem von 1 
verschiedenen Koeffizienten, so ist die Aufgabe, bis auf einfache Rech 
nungen, gelöst. 
2. Wenn man in dem Integral 
I ]/l — x 2 dx 
K-|/1 — x 2 , dv = dx setzt, so ergibt sich zunächst 
j ]/l — x 2 dx = x]/i — x 2 JY===i^ X: > 
aber das Integral der rechten Seite kann durch die Umformung x' 2 = 1 
— (1 —x 2 ) des Zählers in zwei Teile zerlegt werden, und dann folgt weiter 
dx 
f y ' 
fwh--f v 
x~ d x = x Y1 — x 2 -j- 
1 — x 2 dx,