372. Trajektorien 
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erster Ordnung. Wiederholt sind im vorangehenden solche Aufgaben ge 
stellt und gelöst worden. Ein Problem allgemeinerer Natur, das hierher 
gehört, besteht in der Bestimmung der isogonalen Trajektorien eines vor 
gegebenen einfach unendlichen Kurvensystems. Man versteht darunter 
die Gesamtheit aller Linien, welche die gegebenen Kurven unter einem 
festen Winkel schneiden. Ist dieser Winkel ein rechter, so spricht man 
von orthogonalen Trajektorien}) 
Zunüchst werde vorausgesetzt, das gegebene Kurvensystem sei in 
kartesischen Koordinaten gegeben und habe die Gleichung 
F(oc, y, c) = 0, (1) 
ferner sei f(x, y, y) = 0 (2) 
die daraus durch Elimination von c abgeleitete Differentialgleichung. 
Dann ist unmittelbar , , N 
f(*,y,-y)-0 (3) 
die Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien; denn aus (2) und 
(3) ergeben sich bei gegebenem xfy für y Lösungen, deren Produkt — 1 
ist; folglich schneidet die durch x/y gehende Kurve des Systems (3) die 
durch denselben Punkt laufende Kurve des Systems (2) oder (1) recht 
winklig. 
Man erhält also aus der Differentialgleichung eines einfach unend 
lichen Kurvensystems die Differentialgleichung seiner orthogonalen Trajek 
torien, indem man u durch — — ersetzt. 
’ ■ y 
Die endliche Gleichung der Trajektorien geht daraus durch Integra 
tion ‘hervor. 
Handelt es sich um isogonale Trajektorien unter dem schiefen Winkel 
ff, dieser gezählt als Differenz der hohlen Winkel, welche die Tangente 
an die Trajektorie und die Tangente an die Systemkurve mit der posi 
tiven x- Achse einschließen, und bezeichnet man den Richtungskoeffizienten 
der Tangente an die Trajektorie mit zum Unterschiede von jenem der 
a oc 
gegebenen Kurve, der y heißt, dann muß 
1) Das Problem der Trajektorien ist 1697 von Johann Bernoulli aufge 
stellt worden, der 1698 in den Acta eruditorum den neuen Kurven auch den 
Namen gab.