373. Beispiele 
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und die Elimination von a n ergibt die Differentialgleichung 
r cos ntp — r sin TMp = 0. («) 
Die Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien entsteht hier- 
r 8 
ans, wenn man r durch 7 ersetzt, und lautet daher 
r 7 
r cos n cp 4- r sin n cp = 0. (ß) 
Durch die Transformation 
r = r lf (p = ^ -f ~ 
geht aber die Gleichung (/3) über in 
r x cos ncpi — ri sin ntp 1 — 0 
und stimmt dann mit (cc) überein. Die angegebene Transformation be 
steht aber in einer Drehung um den Pol durch 
den Winkel ~ • Das System der orthogonalen 
Trajektorien des vorgelegten Kurven Systems ist 
also ein kongruentes System, gegen das erste je 
doch um den Winkel ~ gedreht. 
Bei n = 1 ergeben sich zwei orthogonale 
Berührungskreisbüschel, das eine r = a sin <p, 
das andere r =» a cos qp. 
Wenn n = 2, erhält man zwei Systeme von Lemniskaten, um 45 0 
gegeneinander gedreht (Fig. 237); ihre Gleichungen sind r — aysw2tp 
und r = a]/cos 2 cp (314, 3.). 
5. Die isogonalen Trajektorien eines Strahlenbüsehels zu bestimmen, 
Die einfachste analytische Darstellung hat ein Strahlenbüschel im 
Polarsystem, wenn man seinen Mittelpunkt mit dem Pole zusammen 
fallen läßt; seine Gleichung lautet dann: 
(p — c. 
Daraus entspringt die Differentialgleichung 
d(p = 0, 
welche weiter zur Folge hat, daß 
0, also 4 - 0 
7 ,v> 
y 
ix 
\ 
y\ 
cT 
Fig. 287. 
ig e = r£ 
in bestimmen