28 I. Abschnitt. § 2. Grandformeln und Methoden der Integralrechnung 
3. Das Integral J n ==- / x n e c dx, 
worin n eine positive ganze Zahl bedeuten soll, gibt bei der Zerlegung 
■u = x n , clv - e* dx: w J a _ t . 
Eine Formel von dieser Art. durch welche ein vorgelegtes Integral in 
ein einfacheres von gleicher Gestalt umgewandelt wird, heißt eine lie- 
duktions- oder Bekursiomformel. 
Die wiederholte Anwendung obiger Formel fuhrt auf folgende Glei 
chungen : j n = x n e ~ nJ n _ x 
J )t _ t = x n ~ i e e — (n — 1) J _ 3 
j^xe- J a - 
das Endintegral ist J n = f e x dx = e x - zum Zwecke der Elimination der 
Zwischenintegrale multipliziere man die Gleichungen von der zweiten au- 
gefangen der Reihe nach mit (— 1 )n. (— 1 ) 2 n(n — 1), . . (— 1 y t ~ i n(n 
— 1) ... 2 und bilde hierauf die Summe aller. Dadurch ergibt sich 
J n = e r [x — nx n ~ 1 -f- n(n — l)x n ~ 3 — • • • 
+ (- l)” _1 w(ii - 1) • • • 2x + (- 1)"»(» - 1) • • • 1] -j- G 
4. Man entwickle folgende Integrale nach der vorstehenden Methode: 
«) I ■■■■; ..Uf = . . .). 
' J l/e* + l ; 
/5) / ! e*dx[dv = e v dx,. . man überzeugt sich leicht, daß 
J. ~j~ COS X ' ft o 
der unter dem neuen Integral entstehende Ausdruck das Differential von 
ist). 
i -f- cosx J 
y) f e ax sin bxdx und / e ax cos bxclx. 
Ö) J cos bx cosh axdx, f cos bx sinh axdx\ 
I sin bx cosh axdx, f sin bx sinh axdx\ 
(unter Benutzung der Formeln in 34 zeige man, daß die Summen des 
ersten und des zweiten Integralpaares wieder auf die Integrale in y) führen). 
236. Integration durch Substitution. Neben der partiellen 
Integration ist die Einführung einer neuen Integrationsvariablen eines der