376, Definition und Integration eines Systems n-ter Ordnung 
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Jedem Punkte Mix/yjz) des Raumes— eventuell mit den Einschränk 
ungen, die bezüglich der Determinanten erwähnt worden sind — sind ver 
möge (2*) eindeutig bestimmte Verhältnisse dx:dy:d% zugeordnet und 
diese fixieren die Richtung einer durch M laufenden Geraden: Punkt und 
Gerade zusammen bilden ein Linienelement im Raume. Bewegt sich der 
Punkt M so, daß das seiner jeweiligen Lage entsprechende Linienelement 
zugleich Linienelement seiner Bahnkurve ist, d. h. sie berührt, so ist eben 
diese Bahnkurve der geometrische Repräsentant eines zwischen y } 0 und x 
bestehenden, dem Differentialsystem Genüge leistenden Zusammenhangs, 
also eines Integrals; sie ist eine Integrallcurve im Raume in demselben 
Sinne, wie dies von einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ord 
nung und ersten Grades zwischen x, y allein in der Ebene gilt. Das Diffe 
rentialsystem (1*) integrieren heißt, die 00 3 Linienelemente, die es um 
faßt, auf alle möglichen Arten zu Integralkurven vereinigen, und alle so 
erhaltenen 00 2 Integralkurven machen die vollständige Lösung des Diffe 
rentialsystems aus. Erfolgt deren Darstellung durch Gleichungen wie 
' - r ' I r4 *. 
e = a, h), I 
so erscheint das zweifach unendliche System der Integralkurven durch 
die gleich mächtigen Systeme ihrer Projektionen auf die xy-, bezw. xz- 
Ebene bestimmt; bringt man die Lösung auf die Form 
9,(x, y,z) = b, | ^ > 
so gehen die Integralkurven aus dem Durchschnitt zweier einfach unend 
lichen Flächenscharen hervor, indem jede Fläche der einen Schar mit 
jeder Fläche der andern Schar eine Integralkurve liefert. Auch die Lösungs 
form (4*) läßt diese Deutung zu, nur bestehen die Flächensysteme aus 
Zylinderflächen parallel der 0-, bzw. ¿/-Achse. 
Lediglich als Erklärungsbeispiel diene das Differentialsystem 
dx __dy dz 
x z y 
Aus der Vereinigung des zweiten mit dem dritten Gliede entspringt 
die gewöhnliche Differentialgleichung 
ydy — zdz — 0